地圖四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里（Francis Guthrie）的英國大學生提出來的。四色問題的內容是：“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家着上不同的顏色。”用數學語言表示，即“將平面任意地細分爲不相重疊的區域，每一個區域總可以用1，2，3，4這四個數字之一來標記，而不會使相鄰的兩個區域得到相同的數字。”這裏所指的相鄰區域，是指有一整段邊界是公共的。如果兩個區域只相遇於一點或有限多點，就不叫相鄰的。因爲用相同的顏色給它們着色不會引起混淆。
四色問題又稱四色猜想、四色定理，是世界近代三大數學難題之一。[1]地圖四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里（FrancisGuthrie）的英國大學生提出來的。德·摩爾根（Augustus De Morgan，1806～1871）1852年10月23日致哈密頓的一封信提供了有關四色定理來源的最原始的記載。他在信中簡述了自己證明四色定理的設想與感受。一個多世紀以來，數學家們爲證明這條定理絞盡腦汁，所引進的概念與方法刺激了拓撲學與圖論的生長、發展。1976年美國數學家阿佩爾（K.Appel）與哈肯（W.Haken）宣告藉助電子計算機獲得了四色定理的證明，又爲用計算機證明數學定理開拓了前景。
地圖四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里（Francis Guthrie）的英國大學生提出來的。德·摩爾根（Augustus De Morgan，1806～1871）1852年10月23日致哈密頓的一封信提供了有關四色定理來源的最原始的記載。四色問題又稱四色猜想，是世界近代三大數學難題之一。
四色猜想的提出來自英國。1852年，畢業於倫敦大學的弗南西斯·格思裏來到一家科研單位搞地圖着色工作時，發現了一種有趣的現象：“看來，每幅地圖都可以用四種顏色着色，使得有共同邊界的國家都被着上不同的顏色。”這個現象能不能從數學上加以嚴格證明呢？他和在大學讀書的弟弟格里斯決心試一試。兄弟二人爲證明這一問題而使用的稿紙已經堆了一大疊，可是研究工作沒有進展。
1852年10月23日，他的弟弟就這個問題的證明請教了他的老師、著名數學家德·摩爾根，摩爾根也沒有能找到解決這個問題的途徑，於是寫信向自己的好友、著名數學家哈密頓爵士請教。漢密爾頓接到摩爾根的信後，對四色問題進行論證。但直到1865年漢密爾頓逝世爲止，問題也沒有能夠解決。
四色問題的提出
1872年，英國當時最著名的數學家凱利正式向倫敦數學學會提出了這個問題，於是四色猜想成了世界數學界關注的問題。世界上許多一流的數學家都紛紛參加了四色猜想的大會戰。1878～1880年兩年間，著名的律師兼數學家肯普(Alfred Kempe)和泰勒(Peter Guthrie Tait)兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣佈證明了四色定理，大家都認爲四色猜想從此也就解決了。
肯普的證明是這樣的：首先指出如果沒有一個國家包圍其他國家，或沒有三個以上的國家相遇於一點，這種地圖就說是“正規的”（左圖）。如爲正規地圖，否則爲非正規地圖（右圖）。一張地圖往往是由正規地圖和非正規地圖聯繫在一起，但非正規地圖所需顏色種數一般不超過正規地圖所需的顏色，如果有一張需要五種顏色的地圖，那就是指它的正規地圖是五色的，要證明四色猜想成立，只要證明不存在一張正規五色地圖就足夠了。
四色問題的證明
肯普是用歸謬法來證明的，大意是如果有一張正規的五色地圖，就會存在一張國數最少的“極小正規五色地圖”，如果極小正規五色地圖中有一個國家的鄰國數少於六個，就會存在一張國數較少的正規地圖仍爲五色的，這樣一來就不會有極小五色地圖的國數，也就不存在正規五色地圖了。這
來自地圖的啓示
相傳，四色問題是一名英國繪圖員提出來的，此人叫格思裏。1852年，他在繪製英國地圖的發現，如果給相鄰地區塗上不同顏色，那麼只要四種顏色就足夠了。需要注意的是，任何兩個國家之間如果有邊界，那麼其邊界不能只是一個點，否則四種顏色就可能不夠。
格思裏把這個猜想告訴了正在唸大學的弟弟。弟弟認真思考了這個問題，結果既不能證明，也沒有找到反例，於是向自己的老師、著名數學家德·摩根請教。德·摩根解釋不清，當天就寫信告訴自己的同行、天才的哈密頓。可是，直到哈密頓1865年逝世爲止，也沒有解決這個問題。從此，這個問題在一些人中間傳來傳去，當時，三等分角和化圓爲方問題已在社會上“臭名昭著”，而“四色瘟疫”又悄悄地傳播開來了。
問題的證明一波三折
1878年，凱萊正式向倫敦數學會提出了這個問題。凱萊可是英國響噹噹的數學家，他看中的問題必定不同凡響。消息傳到了律師肯普的耳朵裏，引起了他的極大興趣。不到一年，肯普就提交了一篇論文，聲稱證明了四色問題。人們以爲事情到此就已經完結了。誰知到1890年，希伍德在肯普的文章中找到一處不可饒恕的錯誤。
不過，讓數學家感到欣慰的是，希伍德沒有徹底否定肯普論文的價值，運用肯普發明的方法，希伍德證明了較弱的五色定理。這等於打了肯普一記悶棍，又將其表揚一番，總的來說是貶大於褒。真不知可憐的肯普律師是什麼心情。 追根究底是數學家的本性。一方面，五種顏色已足夠，另一方面，確實有例子表明三種顏色不夠。那麼四種顏色到底夠不夠呢？這就像一個淘金者，明明知道某處有許多金礦，結果卻只挖出一塊銀子，你說他願意就這樣回去嗎？
接下去的戲就得由閔可夫斯基來演了。這裏得說他幾句好話，他雖然沒有成功，可自認第一流倒也並非自不量力。要知道，19世紀末20世紀初，德國格丁根大學能成爲世界數學中心，就是由於他和希爾伯特、克萊因“三巨頭”的努力。四色瘟疫在英國蔓延時，還真沒有一個研究過它的數學家比得上閔可夫斯基。
令閔可夫斯基尷尬的一堂課
19世紀末，德國有位天才的數學教授叫閔可夫斯基，他曾是愛因斯坦的老師。愛因斯坦因爲經常不去聽課，便被他罵作“懶蟲”。萬萬沒想到，就是這個“懶蟲”後來創立了著名的狹義相對論和廣義相對論。閔可夫斯基受到很大震動，他把相對論中的時間和空間統一成“四維時空”，這是近代物理髮展史上的關鍵一步。
在閔可夫斯基的一生中，把愛因斯坦罵作“懶蟲”恐怕還算不上是最尷尬的事…… 一天，閔可夫斯基剛走進教室，一名學生就遞給他一張紙條，上面寫着：“如果把地圖上有共同邊界的國家塗成不同顏色，那麼只需要四種顏色就足夠了，您能解釋其中的道理嗎？”
閔可夫斯基微微一笑，對學生們說：“這個問題叫四色問題，是一個著名的數學難題。其實，它之所以一直沒有得到解決，僅僅是由於沒有第一流的數學家來解決它。” 爲證明紙條上寫的不是一道大餐，只是小菜一碟，閔可夫斯基決定當堂掌勺，問題就會變成定理……
下課鈴響了，可“菜”還是生的。一連好幾天，他都掛了黑板。後來有一天，閔可夫斯基走進教室時，忽然雷聲大作，他藉此自嘲道：“哎，上帝在責備我狂妄自大呢，我解決不了這個問題。”
緩慢的進展
當時，由大數學家黎曼、康托爾、龐加萊等創立的拓撲學之發展可謂一日千里，後來竟蓋過大數學家高斯寵愛的數論，成爲雍容華貴的數學女王。四色問題就是屬幹拓撲學範疇的一個大問題。拓撲學不僅引進了全新的研究對象，也引進了全新的研究方式。對數學來說，它不啻是一場革命。 回顧拓撲學的歷史，就可以說明爲什麼四色問題對於20世紀數學來說是重要的。通俗地說，連續變換就是你可以捏、拉一個東西，但不能將其扯破，也不能把原先不在一起的兩個點粘在一起。比如，對於26個（大寫）英文字母，一些拓撲學家就認爲可將其分成3類： 第一類：A，D，O，P，O，R；
第二類：B；
第三類：C，E，F，G，H，l，J，K，L，M，N，S，T，U，V，W，X，Y，Z。
第一類在連續變換下都可以變成O，第三類則都可變成I。
因爲4是平面的色數（它也是一種示性數，可見示性數有很多種），體現了平面的拓撲性質，與國家的形狀無關，將平面彎成曲面也沒關係。數學家必須確定這個數究竟是5還是4，這很重要。如果國家分佈在一個環面上，畫地圖最多得要七種顏色。
吊起數學家胃口的還有一個原因。乍一看，環面似乎更復雜，事實上，環面的七色定理卻比較容易證明，希伍德當時就做到了；到1968年，其他所有複雜曲面的色數均已確定，唯有平面（或球面）的四色問題依然故我。看來，平面沒有人們想象的那麼簡單
1913年，伯克霍夫引進了一些新的技巧，導致1939年弗蘭克林證明22國以下的地圖都可以用四色着色。1950年，溫恩將22國提高爲35。1968年，奧爾又達到了39國。1975年有報道，52國以下的地圖用四色足夠。可見，其進展極其緩慢。
計算機幫助人們圓夢
不過，情況也不是過分悲觀。數學家希奇早在1936年就認爲，討論的情況是有限的，不過非常之大，大到可能有10000種。對於巨大而有限的數，最好由誰去對付？今天的人都明白，計算機！
從1950年起，希奇就與其學生丟萊研究怎樣用計算機去驗證各種類型的圖形。這時計算機纔剛剛發明。兩人的思想可謂十分超前。
1972年起，黑肯與阿佩爾開始對希奇的方法作重要改進。到1976年，他們認爲問題已經壓縮到可以用計算機證明的地步了。於是從1月份起，他們就在伊利諾伊大學的IBM360機上分1482種情況檢查，歷時1200個小時，作了100億個判斷，最終證明了四色定理。在當地的信封上蓋“Four colorssutfice”（四色足夠了）的郵戳，就是他們想到的一種傳播這一驚人消息的別緻的方法。
人類破天荒第一次運用計算機證明著名數學猜想，應該說是十分轟動的。讚賞者有之，懷疑者也不少，因爲真正確性一時不能肯定。後來，也的確有人指出其錯誤。1989年，黑肯與阿佩爾發表文章，宣稱錯誤已被修改。1998年，托馬斯簡化了黑肯與阿佩爾的計算程序，但仍依賴於計算機。無論如何，四色問題的計算機解決，給數學研究帶來了許多重要的新思維。
侷限性
雖然四色定理證明了任何地圖可以只用四個顏色着色，但是這個結論對於現實上的應用卻相當有限。現實中的地圖常會出現飛地，即兩個不連通的區域屬於同一個國家的情況（例如美國的阿拉斯加州），而製作地圖時我們仍會要求這兩個區域被塗上同樣的顏色，在這種情況下，四個顏色將會是不夠用的。