动态规划 01揹包问题 C++实现

动态规划 01揹包问题 C++实现

01揹包问题

有n中物品，每种只有一个，第i中物品的体积为V_i，重量为W_i，可以选择这些物品放入揹包或者不放入揹包，是的揹包内物品在总体积不超过容量capacity的前提下重量尽量大

算法思路

动态转移方程d[i][currentCapacity] = max(d[i][currentCapacity], d[i + 1][currentCapacity - items[i].volume] + items[i].weight);，d[i][currentCapacity]表示将后n-i个物品装入容量为currenCapacity的揹包中的最大总重量，d[i + 1][currentCapacity - items[i].volume] + items[i].weight表示选取后n-i个物品装入容量为j- items[i].volume的揹包得到的最大重量加上当前物品的重量，其中currentCapacity减去items[i].volume，即减去了当前物品的体积，保证在揹包容量能够容纳当前物品的情况下选取，若d[i + 1][currentCapacity - items[i].volume]的值为选取后n-i个物品装入容量为currentCapacity- item[i].volume的揹包中最大重量，对于每个物品从重量0开始到最大容量，达到最大容量时，得到的重量一定最大，物品从最后一个物品到第一个物品，每个物品在每个揹包容量能够取得的最大值取决于其物品体积、重量以及其上一个状态（选取后面的物品装入揹包得到的最大值）。

int Knapsack::dynamicProgramming() {
    for (int i = items.size() - 1; i >= 0; i--) {
        for (int currentCapacity = 0; currentCapacity <= capacity; currentCapacity++) {
            d[i][currentCapacity] = (i == items.size() - 1 ? 0 : d[i + 1][currentCapacity]);
            if (currentCapacity >= items[i].volume) {
                d[i][currentCapacity] = max(d[i][currentCapacity], d[i + 1][currentCapacity - items[i].volume] + items[i].weight);
            }
        }
    }
    return d[0][capacity];
}

样例图解

二维数组d，行标为物品体积，列表为当前揹包容量

实现代码

/*
author : eclipse
email  : [email protected]
time   : Mon Jun 15 22:39:03 2020
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

struct Item {
    int volume;
    int weight;
};

class Knapsack {
private:
    vector<vector<int> > d;
    vector<Item> items;
    int capacity;
public:
    Knapsack(vector<Item>& items, int capacity);
    int dynamicProgramming();
};

Knapsack::Knapsack(vector<Item>& items, int capacity) {
    this->items.insert(this->items.begin(), items.begin(), items.end());
    this->capacity = capacity;
    d.resize(items.size() + 1);
    for (int i = 0; i < items.size() + 1; i++) {
        d[i].resize(capacity + 1);
    }
}

int Knapsack::dynamicProgramming() {
    for (int i = items.size() - 1; i >= 0; i--) {
        for (int currentCapacity = 0; currentCapacity <= capacity; currentCapacity++) {
            d[i][currentCapacity] = (i == items.size() - 1 ? 0 : d[i + 1][currentCapacity]);
            if (currentCapacity >= items[i].volume) {
                d[i][currentCapacity] = max(d[i][currentCapacity], d[i + 1][currentCapacity - items[i].volume] + items[i].weight);
            }
        }
    }
    return d[0][capacity];
}

int main(int argc, char const *argv[]) {
    vector<Item> items;
    int N, capacity;
    freopen("test42.txt", "r", stdin);
    scanf("%d%d", &N, &capacity);
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        int volume, weight;
        scanf("%d%d", &volume, &weight);
        items.push_back((Item) {volume, weight});
    }
    Knapsack *knapsack = new Knapsack(items, capacity);
    printf("%d", knapsack->dynamicProgramming());
    return 0;
}

输入数据

5 9
2 10
4 11
6 12
8 13
9 14

输出结果

22

鸣谢

《算法竞赛入门经典》

最后

• 由于博主水平有限，不免有疏漏之处，欢迎读者随时批评指正，以免造成不必要的误解！