數學分析學習(三)

數列極限

數列極限的定義

數列極限的定義就是著名的$\epsilon-N$語言。在微積分剛被髮明的時候，沒有對極限給過嚴格的定義，導致了第二次數學危機。在柯西(1789-1857)和維爾斯特拉斯(1815-1897)的努力下，才基本擺脫了這次危機。
數列極限的定義：
設${x_n}$是一個數列，如果對於任意給定的$\epsilon > 0$，存在正整數$N \in \mathbb{N^+}$，對於任意的$n > N$，都有$|x_n -a| < \epsilon$，記做$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = a$ 稱$x_n$收斂於a，如果不存在極限a則稱數列$x_n$發散

這個定義告訴我們這幾件事。
(1).$\epsilon$具備任意性
(2).$\epsilon$在給定的情況下，$N$也就給定了，可以說$N$隨着$\epsilon$的給定而給定
(3).$|x_n -a| < \epsilon \Rightarrow a-\epsilon<x_n <a+\epsilon$，以$\epsilon$爲半徑的開區間$(a-\epsilon,a+\epsilon)$稱爲a的領域
(4)."充分大"等價於存在正整數N，對於任意的$n>N$，以後碰到“充分大”完全可以等價翻譯出來
(5).對於數列極限而言前N項無論如何變化都不會影響數列極限最終的結果

極限的證明在數學分析中是一個相當重要的問題。證明的方式主要有三類：
1.等價代換法：
$|x_n -a| < \epsilon \stackrel{解不等式}\longrightarrow 得到n > N(\epsilon)，令N=[N(\epsilon)]或者N=[N(\epsilon)]+1即可$
2.放大法
$|x_n -a| < \epsilon，如果這個不等式不好解，可以嘗試放大一下。|x_n -a| \le H(n)，解H(n) < \epsilon，n > N(\epsilon)。這裏需要注意的是，放大後的不等式需要滿足0<H(n)<\epsilon。原因是\epsilon是任意給定的大於0，必然有上面的不等式。$
3.分步法
$如果|x_n -a| < \epsilon這個不等式不好解，可以放大一些。|x_n -a| \le H(n)。但是，這個不等式，只有n充分大的時候才成立，即存在正整數N_1，使得|x_n -a| \le H(n)。通過H(n) < \epsilon， 得到n > N(\epsilon)，即N = max\{ N(\epsilon), N_1\}的時候，|x_n -a| < \epsilon成立$
補充
無窮小量：無窮小量是以0爲極限的數列。
定義：對於任意給定的$\epsilon > 0$，存在正整數$N \in \mathbb{N^+}$，對於任意的$n > N$，都有$|x_n| < \epsilon$，則稱$x_n$爲無窮小量。

數列極限證明舉例

1.證明數列$\{\frac{n}{n+3}\}的極限是1$
證明的關鍵在於找到$N$,首先根據$\epsilon-N$語言，存在正整數$N$對於任意的$n>N$得到下面的不等式：
$|\frac{n}{n+3}-1| < \epsilon$
解出該不等式，立刻得到$n > \frac{3}{\epsilon}-3$爲了取整數N，所以取$N=[\frac{3}{\epsilon}]+1$。

討論：這裏爲啥可以取$N=[\frac{3}{\epsilon}]+1$？首先，由$n > \frac{3}{\epsilon}-3$，知道n取比$\frac{3}{\epsilon}-3$大的都可以，而$\frac{3}{\epsilon}+1$肯定是大於$\frac{3}{\epsilon}-3$。雖然從計算上看$\frac{3}{\epsilon}-3$是要更加精確，但是找N的原則是找到即可，不需要精確。而且，這裏的$\frac{3}{\epsilon}-3$不能保證它是一個整數。所以N取$[\frac{3}{\epsilon}]+1$可以保證定義的要求。

2.證明數列${q^n}$($0 < |q| < 1$)是無窮小量
證明：對於任意給定的$\epsilon > 0$，存在正整數$N$，有這個不等式：
$|q^n|<\epsilon$去絕對值得到$|q|^n<\epsilon$，再兩邊取對數，得到
$n\lg |q| < \lg \epsilon$
$\Downarrow$
$n > \frac{\lg \epsilon}{\lg |q|}$因爲$0<|q|<1$，那麼$\lg |q| < 0$，所以小於變成大於。那麼N取什麼值呢？注意