整除及判定：
整除：如果a能被c整除，b也能被c整除那麼，a+b，a-b都能被c整除。
末三位可被8整除的數能被8整除如1064,3240.
各位數字之和能被9整除可被9整除，如441,5346.判斷各位數字相加的時候3和9比較特殊，可以作爲判斷的一句。
熟記100以內的質數：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43，47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97.
判斷有多少個約數：是每個質數的質數加1，相乘。
分解質數，可以找到它的所有約數，例如144=2^m+3^n，m和n的取值不同可以的到不同的值。2種的重量相等，至少分成多少份啊。可以看出是求最大公約數。
最小公倍數*最大公約數=兩數的乘積。
比例：
若a，b是整數，a/b=m/n，且m/n是最簡分數（不能再約分簡化），則a是m的整數倍，b是n的整數倍。
在某些數學運算中，已知兩個量之比爲m/n，則可以設這兩個量分別爲mx，nx，列方程求解。或者認爲兩個量分別是m份，n份，然後去求每一份的值，最後得出兩個量的值。
連比的運用：甲乙兩數之比爲3:4，乙丙兩數之比爲5:7，甲乙丙的三連比爲：第一個佔4份，第二個佔5份，最小公倍數爲20，所以15:20:28
平方數列求和 Sn=1^2+2^2+3^2+4^2+……+n^2=1/6*n*(n+1)*(2n+1)
立方數列求和 Sn=1^3+2^3+3^3+4^3+……+n^3=[1/2*n*(n+1)]^2
n條直線最多可以將平面劃分成1+n(n+1)/2個區域。
考慮將一個正方形分割成若干個小正方形（大小可以不同），則除了不能分成2個，不能分成3個，不能分成5個，其他數量都可以完成。
給定一個圓，半徑爲r，現在要求用若干個半徑爲r/2的小圓去蓋這個大圓，那麼最少需要7個小圓。
鐘錶問題：時針和分針的角速度差爲5.5°/分鐘。
壞鍾問題：核心時期“壞鍾時間”和標準時間的比例關係。壞鍾每小時比標準時間快n分鐘，壞鍾/標準時=(60+n)/60,壞鍾過了x分鐘，標準時過了60x/(60+n)
年齡推算：關鍵就是年齡差不變。
濃度問題：核心就是研究濃度，溶質，溶液三量的關係。溶質溶解於溶劑通常會有一個濃度上限，超過這個濃度，溶質會析出而不溶解於溶劑，這個濃度的上限成爲飽和濃度。
植樹問題：在非閉合路線（如直線）上植樹時，需要注意兩端是否植樹，若兩端都植樹，棵數=總路長÷間距+1；在閉合路線（如圓）上植樹時，棵數=總路長÷間距。
數字重合的時候，就是求最小公倍數的問題。
盈虧問題的核心:物資和人數不變，人數=盈虧數差÷分配數差
（1）一次有餘（盈），一次不夠（虧），可用公式：（盈+虧）÷（兩次每人分配數的差）=人數。
（2）兩次都有餘（盈），可用公式：（大盈-小盈）÷（兩次每人分配數的差）=人數。
（3）兩次都不夠（虧），可用公式：（大虧-小虧）÷（兩次每人分配數的差）=人數。
（4）一次不夠（虧），另一次剛好分完，可用公式：虧÷（兩次每人分配數的差）=人數。
（5）一次有餘（盈），另一次剛好分完，可用公式：盈÷（兩次每人分配數的差）=人數。
路程問題：找出相等的部分，時間，速度，平均速度，路程
相遇問題：相遇路程=速度和*相遇時間
直線多次相遇：從兩端相向而行，相遇，然後走到終點，返回，第二次相遇，然後第三次……，第一次相遇總共走了S，第二次相遇3S，第n次相遇兩人走的路程爲
S總=（2n-1）*S
環線多次相遇：與前面相似，重在弄清相遇路程爲多少。在第一次爲S，第二次爲2S，……第n次相遇時兩人所走過的路程爲S總=n*S。
追及問題：1.簡單追及問題。追及路程=速度差*時間。
甲從A，速度v1，過了一段時間，乙從A，速度V2，V2>V1，出發時甲已經走了S，過了t 時間追上。則S=（v2-v1）*t
環線多次追及：甲乙兩人在原型跑道上跑步，沿着同一方向在同一起點同時出發，甲的速度大於乙，出發後，甲立即領先，則當甲第一次追上乙時，甲比乙多跑一圈，第二次追上多跑兩圈，第n次追上，多跑n圈，設跑道長爲S，甲第n次追上乙時，甲乙跑過的路程分別爲S1，S2，則S1-S2=n*S。
實際問題：1.火車問題。火車過橋時，火車完全通過橋面所行使的路程等於橋長與火車自身之和，這和一個人過橋是不同的，我們習慣把一個人看成一個店，火車過橋，火車的長度是不能忽略的。此外，火車錯車、火車與人相對運動時，都要考慮火車的長度，這是解決火車問題的關鍵。
錯車的總長度=A車長+B車長（可以將一輛車視爲橋）
2.流水問題：產生的原因是船在逆水和順水中的速度不同。順水速度=船速+水速。逆水速度=船速-水速。
水速=（順水-逆水）/2；船速=（順水+逆水）/2
工程問題：1.基本工程問題。工作量=工作效率*時間。記住之間的比例關係。
多人工作：工作總量=t1*效率1+t2*效率2……+tn*效率n
輪流工作：計算每輪工作的效率（即幾個人的效率和，把效率加起來算一輪的，然後用總的量除）
水管問題：可轉換爲工程問題。進水量，排水量-----工作量。 進水、排水速度---工作效率 進水量（排水量）=（進水速度-排水速度）*時間
牛喫草問題：草在不斷生長且生長速度固定不變，牛在不斷喫草且每頭牛每天喫的草量相同。供不同數量的牛喫，每天消耗草量就不同，需要的時間就不同。
初始草量=（喫草速度1-草生長速度）*時間1；初始草量=（喫草速度2-草生長速度）*時間2；草生長速度=（喫草速度1*時間1-喫草速度2*時間2）÷（時間1-時間2）
初始草量-（喫草速度-草生長速度）*時間
利潤問題
成本=支出1+支出2+……支出n
利潤率是利潤和成本的比值，並用百分數表示。
利潤率=利潤/成本*100%=（售價-成本）/成本*100%=（售價/成本-1）*100%
排列組合
1.加法原理：分類討論的思想。
2.乘法原理：分步討論的思想。有若干步驟，每個步驟存在一定順序。
1.排列的含義：考慮順序2.組合含義：不考慮順序。
解題策略：合理分類、準確分佈、先組合後排列，避免漏洞，使結果多算、漏算。
經典方法：1.捆綁法。要求幾個元素“相鄰”，捆綁起來視爲整體參與排列，然後考慮內部情況。
2.插空法。如果要求幾個元素“不相鄰”，剩餘n個元素之間及兩端會形成（n+1）個空進行排雷，將不相鄰的元素分別插入“空”中即可。
如果所有元素完全相同，即爲組合問題，則不需要進行排列，只需要將不相鄰的元素插入空中即可
3.插板法。將n個相同的元素分成m組，且每組“至少一個元素”時，可用m-1個擋板插入這n個元素之間形成n-1個空中，將元素分割成m組，此時有C（n-1）(下標)（m-1）（上標）
插板法和插空法的區別在於，插空法有n+1個空可選，插板法有n-1個空可選。
4.歸一法。排列問題中有些元素的排列順序已經固定了，如m個元素中的n個元素相對位置固定，這時候可以先將m個元素進行全排列，由於n個元素的順序是固定的，所以在n個元素的全排列數中只選擇一種即可，即m個元素的全排列數除以n個元素的全排列數，記得到滿足條件的全排列數，這種方法叫歸一法。
5.分析對立面。直接考慮需要分許多類，十分麻煩，此時若考慮它的對立面往往只有一種情況或兩種，求出對立面，然後求出總數，進行相減。
經典問題模型：1.環線排列問題。與直線排列之比，環線上的排列問題沒有前後和首尾之分。任取一個元素作爲隊首，環形排列問題便轉換爲剩下的n-1個元素的直線排列問題。n個人圍成一圈，不同的排列方式有A（n-1）（下標）
（n-1）（上標）=(n-1)！種。（這個理解的關鍵在於環形的是可以旋轉的，旋轉可以有n個圖形，所以n！/n=（n-1）！）由於不分首尾，第一個坐下去不管做哪，都算第一個，那麼只要排剩下的就行了（所以我們只要定一個首就行了）
錯位重排：把n個元素的位置重新排列，使每個元素都不在原來位置上的排列問題，稱爲錯裝信封問題。這類問題有一個遞推公式，記n風信的錯位重拍數爲Dn，則Dn=（n-1）（Dn-2+Dn-1）。在數學運算中出現的錯位重排項一般不超過5，記住Dn的前幾項的具體數值可省略計算。D1=0，D2=1，D3=2，D4=9，D5=44。
分類事件概率=P1+P2+……Pn；分步事件的概率=p1*p2*p3……pn
n次獨立重複試驗概率：相同條件下，進行n次重複試驗，每次試驗中任何一事件的概率不受其他試驗的影響，這類試驗成爲n次獨立重複試驗，事件發生概率爲p，，n次恰好發生k次的概率：Pn（k）=Cn（k）*p^k*(1-P)^(n-k)
條件概率：在b發生的情況下，a發生的概率。P(A|B)=P(AB)/p(B)
容斥問題：當幾個計數部分相互包含時，需要將重複計算的部分除掉，這叫容斥問題。
二集合容斥：a∪b=a+b-a∩b
三集合容斥：a∪b∪c=a+b+c-a∩b-a∩c-b∩c+a∩b∩c（圓所覆蓋的面積=三圓面積和-重疊一次-2倍重疊兩次的）
文氏圖最適合描述3個集合的情況。
凡涉及重複計數問題均可對應爲文氏圖模型來進行分析。
算數平均數與個數之差的平方和最小。
十字交叉法：它與加權平均數有緊密聯繫。當一組數據x1，x2……xn，出現次數爲m1，m2……mn，
加權平均數x=（m1x1+m2x2……+mn*xn）/（m1+m2+……mn）如n=2，x=（m1x1+m2x2）/（m1+m2），則m1/m2=（x-x2)、/(x1-x)
步驟：1.找出各部分的平均數和總平均數2.各部分平均數與總平均數交叉作差3.利用比例關係解答。