【算法學習筆記二】查找搜索算法

原創

2020-06-17 06:03

一.順序搜索（Linear search）

對於一個n元數組，查找某一元素是否等於x，則需要將數組從頭到尾與x做判斷，運氣好的話，可能比較第一次就找到，運氣壞的話可能最後一個元素才找到或者都沒找不到，即元素比較次數是1~n之間。

輸入：n個元素的數組A[1...n]和元素x
輸出：如果x=A[j],1≤j≤n，則輸出j，否則輸出0
    j<-1
    while (j<n) and (x≠A[j])
        j<-j+1
    end while
    if x=A[j] then return j else return 0

二.二分搜索(Binary search)

令A[low...high]爲元素按升序排列的非空數組，A[mid]爲中間元素，假定x>A[mid]且在A中，則它必在A數組的右半集合中，接下來只需在A[mid+1...high]中搜索x，A[low...mid]被丟棄掉。循環搜索，直至找到x。

    low<-1, high<-n, j<-0
    while (low≤high) and (j=0)
        mid<-(low+high)/2（取下整）
        if x=A[mid] then j<-mid
        else if x<A[mid] then high<-mid-1
        else low<-mid+1
    end while
    return j

對於一個大小爲n的排序數組，算法二分查找執行比較的最大次數爲 $$\lfloor logn \rfloor$+1$ 。

證明過程：

整個搜索過程是都有元素折半的操作，第一次比較後，丟棄一半的元素，第二次比較再丟棄一半的一半的元素，直至結束。即，

第一次循環開始時元素的個數 $\lfloor n/2^0 \rfloor$ ；

第二次循環開始時元素的個數 $\lfloor n/2 \rfloor$ ；

第三次循環開始時元素的個數 $\lfloor $\lfloor n/2 \rfloor$/2 \rfloor$ = $\lfloor n/2^2 \rfloor$

第j次循環開始時元素的個數 $\lfloor n/2^{j-1}\rfloor$ ......

當 $\lfloor n/2^{j-1}\rfloor$ =1時，算法結束，則j表示二分查找的最大比較次數，即 $1 \leq n/2^{j-1} \textless 2$ 時結束算法，化簡得 $j-1 \leq logn \textless j$ ，則 $j=$\lfloor logn \rfloor$+1$ ,得證。