【算法学习笔记二】查找搜索算法

原創

2020-06-17 06:03

一.顺序搜索（Linear search）

对于一个n元数组，查找某一元素是否等于x，则需要将数组从头到尾与x做判断，运气好的话，可能比较第一次就找到，运气坏的话可能最后一个元素才找到或者都没找不到，即元素比较次数是1~n之间。

输入：n个元素的数组A[1...n]和元素x
输出：如果x=A[j],1≤j≤n，则输出j，否则输出0
    j<-1
    while (j<n) and (x≠A[j])
        j<-j+1
    end while
    if x=A[j] then return j else return 0

二.二分搜索(Binary search)

令A[low...high]为元素按升序排列的非空数组，A[mid]为中间元素，假定x>A[mid]且在A中，则它必在A数组的右半集合中，接下来只需在A[mid+1...high]中搜索x，A[low...mid]被丢弃掉。循环搜索，直至找到x。

    low<-1, high<-n, j<-0
    while (low≤high) and (j=0)
        mid<-(low+high)/2（取下整）
        if x=A[mid] then j<-mid
        else if x<A[mid] then high<-mid-1
        else low<-mid+1
    end while
    return j

对于一个大小为n的排序数组，算法二分查找执行比较的最大次数为 $$\lfloor logn \rfloor$+1$ 。

证明过程：

整个搜索过程是都有元素折半的操作，第一次比较后，丢弃一半的元素，第二次比较再丢弃一半的一半的元素，直至结束。即，

第一次循环开始时元素的个数 $\lfloor n/2^0 \rfloor$ ；

第二次循环开始时元素的个数 $\lfloor n/2 \rfloor$ ；

第三次循环开始时元素的个数 $\lfloor $\lfloor n/2 \rfloor$/2 \rfloor$ = $\lfloor n/2^2 \rfloor$

第j次循环开始时元素的个数 $\lfloor n/2^{j-1}\rfloor$ ......

当 $\lfloor n/2^{j-1}\rfloor$ =1时，算法结束，则j表示二分查找的最大比较次数，即 $1 \leq n/2^{j-1} \textless 2$ 时结束算法，化简得 $j-1 \leq logn \textless j$ ，则 $j=$\lfloor logn \rfloor$+1$ ,得证。