Leecode刷題日記70-爬樓梯【Java】

1.題目描述

假設你正在爬樓梯。需要 n 階你才能到達樓頂。

每次你可以爬 1 或 2 個臺階。你有多少種不同的方法可以爬到樓頂呢？

**注意：**給定 n 是一個正整數。

示例 1：

輸入： 2
輸出： 2
解釋： 有兩種方法可以爬到樓頂。

1.  1 階 + 1 階
2.  2 階

示例 2：

輸入： 3
輸出： 3
解釋： 有三種方法可以爬到樓頂。

1.  1 階 + 1 階 + 1 階
2.  1 階 + 2 階
3.  2 階 + 1 階

2.思路

這是一個簡單的動態規劃算法題。

F(1) = 1;

F(2) = 2;

F(3) = F(1)+F(2);

…

F(n) = F(n-1)+F(n-2);

由以上公式歸納，初次想到使用遞歸去解，即第n階樓梯的爬法等於第n-1階樓梯的爬法加上第n-2階樓梯的爬法。

3.解法

    public int climbStairs(int n) {
        if(n==1)return 1;
        if(n==2)return 2;
        return climbStairs(n-1)+climbStairs(n-2);
    }

以上解法耗時較長，在提交時顯示超時了。

因爲

​ F(n) = F(n-1)+F(n-2)

​ =F(n-2)+F(n-3)+F(n-3)+F(n-4) = F(n-2)+2F(n-3)+F(n-4)

​ =F(n-3)+F(n-4)+2(F(n-4)+F(n-5))+F(n-5)+F(n-6) = F(n-3)+3F(n-4)+3F(n-5)+F(n-6)

​ = …

那麼我們需要想辦法利用一下中間值，因爲有部分相同的數值計算了多次。時間複雜度爲

考慮第 i 級階梯，第i級可以由第i-1階走1步上來，也可以由第i-2階走2步上來。

所以，新的解法爲:

 public int climbStairs(int n) {
        if(n==1)return 1;
        if(n==2)return 2;
        //return climbStairs(n-1)+climbStairs(n-2);
        int[] temResult = new int[n];
        temResult[0]=1;temResult[1]=2;
        for(int i=2;i<n;i++){
            temResult[i] = temResult[i-1]+temResult[i-2];
        }
        return temResult[n-1];
    }

動態規劃問題

動態規劃原理

1.確認原問題與子問題

原問題爲球n階臺階所有走法的數量，子問題是求1階臺階、2階臺階、…n -1階臺階的走法。

2.確認狀態，本地的動態規劃狀態單一，第 i 個狀態即爲 i 階臺階的所有走法的數量。

3.確認邊界狀態的值。邊界狀態爲1階臺階與2階臺階的走法，1階臺階有1種走法，2階臺階有2種走法，即 dp[1] = 1,dp[2] = 2.

4.確認狀態轉移方程。將求第 i 個狀態的值轉移爲球第 i -1 個狀態的值與第 i-2個狀態的只，動態規劃轉移方程，

​ F(n) = F(n-1)+F(n-2)；（n > 2）