利用matlab繪製二維均勻流線和向量場（向量場彩色箭頭，顏色隨變量變化）
0前言
之前一篇文章matlab流場可視化後處理我簡單介紹了很多繪製流場可視化的方法，但是在流線方面一直不是很滿意，因爲matlab自帶的繪製流線函數streamslice沒有開源，有些參數（比如每根流線的顏色）不能修改等，所以我嘗試着自己寫一種繪製二維均勻流線的程序，以便滿足更多的需求。
其中，matlab官方file exchange裏，也有一些大神的代碼給出了很好的結果：
Evenly Spaced Streamlines
Streamcolor
StreakArrow
關於如何用matlab繪製均勻的流線，我採用的方法是下面這篇論文提到的算法：
Jobard B., Lefer W. (1997) Creating Evenly-Spaced Streamlines of Arbitrary Density. In: Lefer W., Grave M. (eds) Visualization in Scientific Computing ’97. Eurographics. Springer, Vienna
1 均勻流線的繪製
論文Creating Evenly-Spaced Streamlines of Arbitrary Density中提出的繪製流線的算法可以描述爲：
先初始化一根流線，然後在這個流線周圍逐漸的擴展新的流線。文章中定義了兩個距離，一個是用於產生新流線種子點的距離dstart，一個是用於結束流線生成的距離dend。新的流線擴展方式爲，在距離舊的流線爲dstart的隨機位置上，生成一個種子點，對該種子點進行新流線的生成（同時向頭和尾段生成流線），當新流線兩端的點距某個舊流線的距離小於dend時，停止生成流線，將該流線放入舊流線內保存。當任意位置都不能滿足新流線的生成時，則認爲所有流線都已經生成，結束計算。
用僞代碼的形式可以表述爲
1 隨機繪製第一根流線，作爲初始流線。把初始流線加入已生成的流線列表內。把初始流線記爲當前流線。
2 令Finish=False，當Finish==False時，進行循環
3 選擇一個種子點，該點距 當前流線 的距離爲dstart，且距離其它 已生成的流線列表內 的流線距離大於dstart
4 如果能夠找到一個符合條件的種子點，則生成新的流線。
5 新流線以種子點爲開始，向前向後伸展。
當流線的前端新計算的流線點距離某條流線的距離小於dend，則停止前端流線的生成。後端同樣。
6 將新流線保存到已生成的流線列表內。
7 如果不能找到符合條件的種子點，則替換 當前流線 ，重複4
8 如果 已生成的流線列表內 所有流線都經過步驟7嘗試一遍，則說明計算結束。
令Finish==True， 停止2的循環。
由於在計算中，用到了大量的距離計算，比如生成新種子點時，需要不停的和其它所有流線計算距離，保證大於dstart，又比如在計算新流線時，新流線每次生成一個點，該點都需要和所有以有的流線進行距離計算，保證距離大於dend。
這種頻繁的距離計算數量，在量級上爲N^2，這導致當流線上點比較多或者流線比較多時，計算會非常緩慢。我們可以利用一些其它的方法減少這種運算，比如利用劃分網格的方式，使得每次計算距離，只需要計算周圍網格（比如2維的周圍網格有8個）內所有點的距離，而無需計算全局所有點的距離。或者利用樹形搜索算法，可以將計算量降到NlgN的量級上。
當然，這裏我利用一種更簡單的方法進行計算。利用劃分網格的思想，將新種子點的生成位置限定在網格上。而且，假設如果兩個點在同一個網格內，說明兩個點距離小於d，如果不在同一網格內，兩個點距離大於d。這種假設雖然對計算結果不精準，但是仍然是可接受的，而且不需要計算距離。
用僞代碼的形式可以表述爲
1 生成距離dstart的網格。生成距離dend的網格。網格內初始化爲0
2 當start網格內所有區域都爲1，則停止循環
3 尋找start網格區域爲0的區域，隨機選擇一個區域作爲生成種子點。
4 以種子點爲起始點，向前向後繪製流線
5 查詢新生成的流線點對應的end網格，記爲當前網格。
6 如果當前網格和上一個點的當前網格是同一個，則認爲當前網格沒有移動，繼續生成下一個流線點
7 如果當前網格移動，且當前end網格爲1，則停止生成流線。
8 如果當前網格移動，且當前end網格爲0，則將當前網格標記爲1，繼續生成下一個流線點
9 將流線保存。流線經過的所有start網格標記爲1。流線經過的所有end網格標記爲1。之後重複3。
matlab代碼爲：
clear
clc
close all
%載入數據
load wind
N=5; xx=x(:,:,N); yy=y(:,:,N); uu=u(:,:,N); vv=v(:,:,N);
xmin=min(x,[],'all');xmax=max(x,[],'all');
ymin=min(y,[],'all');ymax=max(y,[],'all');
%流線求解
streamline_sum=my_streamline(xx,yy,uu,vv,0.05);
%繪製流線
figure(1)
hold on
xlim([xmin,xmax]);
ylim([ymin,ymax]);
xy_ratio = get(gca, 'DataAspectRatio');
xy_ratio = xy_ratio(1:2);
xy_lim = axis;
for j=1:size(streamline_sum,2)
if size(streamline_sum{j},1)<=1
continue%忽略異常流線
end
plot(streamline_sum{j}(:,1),streamline_sum{j}(:,2),'k');
%繪製箭頭
arrow_direction=streamline_sum{j}(end,:)-streamline_sum{j}(end-1,:);
plot_arrow(xy_lim,xy_ratio,streamline_sum{j}(end,:),[0,0,0],0.8,arrow_direction)
end
hold off
function streamline_sum=my_streamline(x,y,u,v,dstart)
%0處理前設置
%設置網格密度(01區間內歸一化的長度）
%dstart=0.05;默認0.05
dend=0.5*dstart;
xmin=min(x,[],'all');xmax=max(x,[],'all');
ymin=min(y,[],'all');ymax=max(y,[],'all');
%歸一化，將流場縮放爲0-1區間的矩形
xn=(x-xmin)/(xmax-xmin);
yn=(y-ymin)/(ymax-ymin);
un=u/(xmax-xmin);
vn=v/(ymax-ymin);
num_start=ceil((0.5-dstart/2)/dstart)*2+1;
num_end=ceil((0.5-dend/2)/dend)*2+1;
%初始化所有網格點，0代表可以放置新點，1代表已經存在原有的點
xy_start=zeros(num_start,num_start);
xy_end=zeros(num_end,num_end);
%1當xy_start內還有可放置的新點的位置時，進行循環
k=0;%循環次數，也是流線個數
while ~all(xy_start,'all')
k=k+1;
%2隨機一個start內網格點作爲種子點
[start_id_y,start_id_x]=find(xy_start==0);
randnum=randi(size(start_id_y,1));
x_pos_i=id2axis(dstart,start_id_x(randnum,1));
y_pos_i=id2axis(dstart,start_id_y(randnum,1));
%3繪製流線
streamline_i_1 = stream2(xn,yn, un, vn,x_pos_i,y_pos_i,0.2);
streamline_i_2 = stream2(xn,yn,-un,-vn,x_pos_i,y_pos_i,0.2);
%4以xy_end爲標準，刪除自相交或間隔太近的點。並順便標記xy_end
[streamline_i_1,xy_end,xy_start]=delete_self(streamline_i_1{1},xy_end,dend,xy_start,dstart);
[streamline_i_2,xy_end,xy_start]=delete_self(streamline_i_2{1},xy_end,dend,xy_start,dstart);
%5保存
streamline_k=[flipud(streamline_i_2);streamline_i_1(2:end,:)];%新的流線
streamline_sum{k}=[xmin+streamline_k(:,1)*(xmax-xmin),ymin+streamline_k(:,2)*(ymax-ymin)];%從歸一化還原
end
end
function xpoint=id2axis(distance,id)
%取網格的中點
N=ceil((0.5-distance/2)/distance)*2+1;%分割的數量
min_distance=(1-(N-2)*distance)/2;%兩端最小的距離
if id==1
xpoint=min_distance/2;
elseif id==N
xpoint=1-min_distance/2;
else
xpoint=min_distance+(id-1.5)*distance;
end
end
function [sl_i,xy_end,xy_start]=delete_self(sl_i,xy_end,dend,xy_start,dstart)
%sl_i streamline流線，兩列N行形式
N=size(sl_i,1);
pos_id_last=axis2id(sl_i(1,1),sl_i(1,2),dend);
xy_end(pos_id_last)=1;%第一個點標記
%順便標記xy_start
pos_id_s=axis2id(sl_i(1,1),sl_i(1,2),dstart);
xy_start(pos_id_s)=1;
for j=2:N
pos_id_now=axis2id(sl_i(j,1),sl_i(j,2),dend);
if pos_id_now~=pos_id_last
%如果現在的點和原有的點在同一區域，則不管它
%如果不在同一區域，檢測新的點是否已經被佔用
if xy_end(pos_id_now)==1
%如果該點被佔用，說明出現與其它流線太近的情況，則直接停止
j=j-1;
break
else
%如果沒被佔用，則把新點添加上
xy_end(pos_id_now)=1;
pos_id_last=pos_id_now;
end
end
%順便標記xy_start
pos_id_s=axis2id(sl_i(j,1),sl_i(j,2),dstart);
xy_start(pos_id_s)=1;
end
sl_i(j:end,:)=[];
end
function pos_id=axis2id(x,y,distance)
N=ceil((0.5-distance/2)/distance)*2+1;%分割的數量
min_distance=(1-(N-2)*distance)/2;%兩端最小的距離
%x的位置
if x<=min_distance
pos_id_x=1;
elseif x>=1-min_distance
pos_id_x=N;
else
pos_id_x=ceil((x-min_distance)/distance)+1;
end
%y的位置
if y<=min_distance
pos_id_y=1;
elseif y>=1-min_distance
pos_id_y=N;
else
pos_id_y=ceil((y-min_distance)/distance)+1;
end
%xy轉ind
pos_id=sub2ind([N,N],pos_id_y,pos_id_x);
end
function plot_arrow(xy_lim,xy_ratio,xy_arrow,arrow_color,arrow_width,arrow_direction)
%初始化箭頭形狀（歸一化的形狀）
arrow_0=[0,0;-1,0.5;-1,-0.5];
%對方向進行歸一化
a_dn=arrow_direction(:)./xy_ratio(:);
a_dn=a_dn/sqrt(sum(a_dn.^2));
d=(xy_lim(4)-xy_lim(3)+xy_lim(2)-xy_lim(1))/2;
%箭頭對窗口縮放
arrow_1=arrow_0*arrow_width*0.03*d;
%箭頭旋轉
arrow_2=arrow_1*[a_dn(1),a_dn(2);-a_dn(2),a_dn(1)];
%箭頭變形
xy_ratio_n=xy_ratio/sqrt(sum(xy_ratio.^2));%對比例尺歸一化
arrow_3=arrow_2.*xy_ratio_n+xy_arrow;
fill(arrow_3(:,1),arrow_3(:,2),arrow_color,'EdgeColor','none')
end
生成的流線圖爲：
2 繪製彩色的短線圖
這個繪製思路很簡單，就是取每一個點，然後繪製短流線即可。
代碼如下：
clear
clc
close all
%繪製短線彩色圖（長短相同）
%載入數據
load wind
N=5; xx=x(:,:,N); yy=y(:,:,N); uu=u(:,:,N); vv=v(:,:,N);
xmin=min(xx,[],'all');xmax=max(xx,[],'all');
ymin=min(yy,[],'all');ymax=max(yy,[],'all');
V2=sqrt(uu.^2+vv.^2);%計算速度
%繪製變量顏色條
N_color=32;
P=V2;%把速度作爲變量
P_max=max(P,[],'all');
P_min=min(P,[],'all');
Num=numel(xx);%流線數量
for k=1:Num
startx=xx(k);starty=yy(k);
sl_i=stream2(xx,yy,uu,vv,startx,starty,[0.1, 20]);
sl_sum{k}=sl_i{1};%保存流線
end
mcp=colormap(parula(N_color));%生成顏色
[~,~,P_color] = histcounts(P(:),linspace(P_min,P_max,N_color));%顏色索引
figure(1)
hold on
xlim([xmin,xmax])
ylim([ymin,ymax])
xy_ratio = get(gca, 'DataAspectRatio');
xy_ratio = xy_ratio(1:2);
xy_lim = axis;
for k=1:Num
plot(sl_sum{k}(:,1),sl_sum{k}(:,2),'color',mcp(P_color(k),:))
if size(sl_sum{k},1)<=1
continue
end
%繪製箭頭
arrow_direction=sl_sum{k}(end,:)-sl_sum{k}(end-1,:);
plot_arrow(xy_lim,xy_ratio,sl_sum{k}(end,:),mcp(P_color(k),:),0.5,arrow_direction)
end
hold off
caxis([P_min,P_max])%顏色條範圍
colorbar
function plot_arrow(xy_lim,xy_ratio,xy_arrow,arrow_color,arrow_width,arrow_direction)
%初始化箭頭形狀（歸一化的形狀）
arrow_0=[0,0;-1,0.5;-1,-0.5];
%對方向進行歸一化
a_dn=arrow_direction(:)./xy_ratio(:);
a_dn=a_dn/sqrt(sum(a_dn.^2));
d=(xy_lim(4)-xy_lim(3)+xy_lim(2)-xy_lim(1))/2;
%箭頭對窗口縮放
arrow_1=arrow_0*arrow_width*0.03*d;
%箭頭旋轉
arrow_2=arrow_1*[a_dn(1),a_dn(2);-a_dn(2),a_dn(1)];
%箭頭變形
xy_ratio_n=xy_ratio/sqrt(sum(xy_ratio.^2));%對比例尺歸一化
arrow_3=arrow_2.*xy_ratio_n+xy_arrow;
fill(arrow_3(:,1),arrow_3(:,2),arrow_color,'EdgeColor','none')
end
繪製出的效果如下：
這些流線基本都是長短相同的，因爲stream2函數生成的流線，流線上的點基本是等間距的。如果想做出速度V大的流線箭頭更長，速度小的流線更短的效果，這裏用自己編寫的二階RK流線生成算法，進行流線的繪製。由於interp2速度太慢，這裏用griddedInterpolant函數進行替換，優化速度將近10倍（我也沒搞清楚爲什麼interp2速度這麼慢）。
matlab代碼如下：
clear
clc
close all
%繪製彩色短線圖（長短不同）
%載入數據
load wind
N=5; xx=x(:,:,N); yy=y(:,:,N); uu=u(:,:,N); vv=v(:,:,N);
xmin=min(xx,[],'all');xmax=max(xx,[],'all');
ymin=min(yy,[],'all');ymax=max(yy,[],'all');
V2=sqrt(uu.^2+vv.^2);%計算速度
%繪製變量顏色條
N_color=32;
P=V2;%指定變量爲V2
P_max=max(P,[],'all');
P_min=min(P,[],'all');
Num = numel(xx);
num_streamline=20;%每條流線上的點數量
dt=3.0*min([xx(1,2)-xx(1,1),yy(2,1)-yy(1,1)])/max(V2,[],'all')/num_streamline;
for k=1:Num
startx=xx(k);starty=yy(k);
sl_i=stream2_RK2(xx,yy,uu,vv,startx,starty,dt,num_streamline);
sl_sum{k}=sl_i;
end
mcp=colormap(parula(N_color));
[~,~,P_color] = histcounts(P(:),linspace(P_min,P_max,N_color));
mlw=linspace(0.5,2,N_color);
figure(1)
hold on
xlim([xmin,xmax])
ylim([ymin,ymax])
xy_ratio = get(gca, 'DataAspectRatio');
xy_ratio = xy_ratio(1:2);
xy_lim = axis;
for k=1:Num
plot(sl_sum{k}(:,1),sl_sum{k}(:,2),'color',mcp(P_color(k),:),'linewidth',mlw(P_color(k)))
if size(sl_sum{k},1)<=1
continue
end
%繪製箭頭
arrow_direction=sl_sum{k}(end,:)-sl_sum{k}(end-1,:);
plot_arrow(xy_lim,xy_ratio,sl_sum{k}(end,:),mcp(P_color(k),:),0.5*mlw(P_color(k)),arrow_direction)
end
hold off
caxis([P_min,P_max])
colorbar
function streamline_i=stream2_RK2(x,y,u,v,startx,starty,dt,N)
streamline_i=zeros(N,2);
streamline_i(1,:)=[startx,starty];
x_old=startx;y_old=starty;
F_u = griddedInterpolant(x',y',u','linear');
F_v = griddedInterpolant(x',y',v','linear');
for k=2:N
%利用改進歐拉法（或者叫2階Runge-Kutta,預估校正）
%interp2太慢，放棄
% u_K1=interp2(x,y,u,x_old,y_old,'linear')*dt;
% v_K1=interp2(x,y,v,x_old,y_old,'linear')*dt;
u_K1 = F_u(x_old,y_old)*dt;
v_K1 = F_v(x_old,y_old)*dt;
% u_K2=interp2(x,y,u,x_old+0.5*u_K1,y_old+0.5*v_K1,'linear')*dt;
% v_K2=interp2(x,y,v,x_old+0.5*u_K1,y_old+0.5*v_K1,'linear')*dt;
u_K2 = F_u(x_old+0.5*u_K1,y_old+0.5*v_K1)*dt;
v_K2 = F_v(x_old+0.5*u_K1,y_old+0.5*v_K1)*dt;
x_new=x_old+0.5*(u_K1+u_K2);
y_new=y_old+0.5*(v_K1+v_K2);
%保存
streamline_i(k,:)=[x_new,y_new];
x_old=x_new;y_old=y_new;
if isnan(x_new) || isnan(y_new)
streamline_i(k+1:end,:)=[];
break
end
end
end
function plot_arrow(xy_lim,xy_ratio,xy_arrow,arrow_color,arrow_width,arrow_direction)
%初始化箭頭形狀（歸一化的形狀）
arrow_0=[0,0;-1,0.5;-1,-0.5];
%對方向進行歸一化
a_dn=arrow_direction(:)./xy_ratio(:);
a_dn=a_dn/sqrt(sum(a_dn.^2));
d=(xy_lim(4)-xy_lim(3)+xy_lim(2)-xy_lim(1))/2;
%箭頭對窗口縮放
arrow_1=arrow_0*arrow_width*0.03*d;
%箭頭旋轉
arrow_2=arrow_1*[a_dn(1),a_dn(2);-a_dn(2),a_dn(1)];
%箭頭變形
xy_ratio_n=xy_ratio/sqrt(sum(xy_ratio.^2));%對比例尺歸一化
arrow_3=arrow_2.*xy_ratio_n+xy_arrow;
fill(arrow_3(:,1),arrow_3(:,2),arrow_color,'EdgeColor','none')
end
生成的流線效果如下：
3 繪製彩色的均勻流線
流線的繪製採用第1小節方法，但是採用控制stream2函數的點數來控制流線的長度（沒有采用第2小節的RK方法）。顏色的繪製採用第2小節的方法。
代碼如下：
clear
clc
close all
%繪製彩色長線圖（長短不同）
%載入數據
load wind
N=5; xx=x(:,:,N); yy=y(:,:,N); uu=u(:,:,N); vv=v(:,:,N);
xmin=min(xx,[],'all');xmax=max(xx,[],'all');
ymin=min(yy,[],'all');ymax=max(yy,[],'all');
%流線求解
[streamline_sum,streamline_seed]=my_streamline_mutli(xx,yy,uu,vv,0.03,32);
%繪製變量顏色條
V2=sqrt(uu.^2+vv.^2);
N_color=16;%流線的顏色種類
P=V2;%把速度作爲顏色的變量
P_max=max(P,[],'all');
P_min=min(P,[],'all');
mcp=colormap(jet(N_color));
P_seed=interp2(xx,yy,P,streamline_seed(:,1),streamline_seed(:,2));
[~,~,P_color] = histcounts(P_seed(:),linspace(P_min,P_max,N_color));
mlw=linspace(0.5,2,N_color);
%繪製流線
figure(1)
hold on
for j=1:size(streamline_sum,2)
plot(streamline_sum{j}(:,1),streamline_sum{j}(:,2),'color',mcp(P_color(j),:)...
,'linewidth',mlw(P_color(j)));%繪製流線
end
xlim([xmin,xmax])
ylim([ymin,ymax])
caxis([P_min,P_max])
colorbar
%繪製箭頭
xy_ratio = get(gca, 'DataAspectRatio');
xy_ratio = xy_ratio(1:2);
xy_lim = axis;
for k=1:size(streamline_sum,2)
%繪製箭頭
arrow_direction=streamline_sum{k}(end,:)-streamline_sum{k}(end-1,:);
plot_arrow(xy_lim,xy_ratio,streamline_sum{k}(end,:),mcp(P_color(k),:),mlw(P_color(k)),arrow_direction)
end
hold off
function [streamline_sum,streamline_seed]=my_streamline_mutli(x,y,u,v,dstart,num)
%0處理前設置
%設置網格密度(01區間內歸一化的長度）
%dstart=0.05;默認0.05
dend=0.5*dstart;
xmin=min(x,[],'all');xmax=max(x,[],'all');
ymin=min(y,[],'all');ymax=max(y,[],'all');
%歸一化，將流場縮放爲0-1區間的矩形
xn=(x-xmin)/(xmax-xmin);
yn=(y-ymin)/(ymax-ymin);
un=u/(xmax-xmin);
vn=v/(ymax-ymin);
num_start=ceil((0.5-dstart/2)/dstart)*2+1;
num_end=ceil((0.5-dend/2)/dend)*2+1;
%初始化所有網格點，0代表可以放置新點，1代表已經存在原有的點
xy_start=zeros(num_start,num_start);
xy_end=zeros(num_end,num_end);
%將流線劃分爲num種，速度越大的流線越長
length_sl=linspace(5,40,num);
V2=sqrt(un.^2+vn.^2);
V2_min=min(V2,[],'all');
V2_max=max(V2,[],'all');
V2_space=linspace(V2_min,V2_max,num+1);
%1當xy_start內還有可放置的新點的位置時，進行循環
k=0;%循環次數，也是流線個數
while ~all(xy_start,'all')
k=k+1;
%2隨機一個start內網格點作爲種子點
[start_id_y,start_id_x]=find(xy_start==0);
randnum=randi(size(start_id_y,1));
x_pos_i=id2axis(dstart,start_id_x(randnum,1));
y_pos_i=id2axis(dstart,start_id_y(randnum,1));
streamline_seed(k,:)=[x_pos_i,y_pos_i];%保存種子點
V2_seed=interp2(xn,yn,V2,x_pos_i,y_pos_i);%計算種子點處的速度
[~,~,sl_N] = histcounts(V2_seed,V2_space);
num_streamline=round(length_sl(sl_N));
%3繪製流線
streamline_i_1 = stream2(xn,yn, un, vn,x_pos_i,y_pos_i,[0.1,num_streamline]);
streamline_i_2 = stream2(xn,yn,-un,-vn,x_pos_i,y_pos_i,[0.1,num_streamline]);
%4以xy_end爲標準，刪除自相交或間隔太近的點。並順便標記xy_end
[streamline_i_1,xy_end,xy_start]=delete_self(streamline_i_1{1},xy_end,dend,xy_start,dstart);
[streamline_i_2,xy_end,xy_start]=delete_self(streamline_i_2{1},xy_end,dend,xy_start,dstart);
%5保存
streamline_k=[flipud(streamline_i_2);streamline_i_1(2:end,:)];%新的流線
streamline_sum{k}=[xmin+streamline_k(:,1)*(xmax-xmin),ymin+streamline_k(:,2)*(ymax-ymin)];%從歸一化還原
end
streamline_seed=[streamline_seed(:,1)*(xmax-xmin)+xmin,streamline_seed(:,2)*(ymax-ymin)+ymin];
end
function xpoint=id2axis(distance,id)
%取網格的中點
N=ceil((0.5-distance/2)/distance)*2+1;%分割的數量
min_distance=(1-(N-2)*distance)/2;%兩端最小的距離
if id==1
xpoint=min_distance/2;
elseif id==N
xpoint=1-min_distance/2;
else
xpoint=min_distance+(id-1.5)*distance;
end
end
function [sl_i,xy_end,xy_start]=delete_self(sl_i,xy_end,dend,xy_start,dstart)
%sl_i streamline流線，兩列N行形式
N=size(sl_i,1);
pos_id_last=axis2id(sl_i(1,1),sl_i(1,2),dend);
xy_end(pos_id_last)=1;%第一個點標記
%順便標記xy_start
pos_id_s=axis2id(sl_i(1,1),sl_i(1,2),dstart);
xy_start(pos_id_s)=1;
for j=2:N
pos_id_now=axis2id(sl_i(j,1),sl_i(j,2),dend);
if pos_id_now~=pos_id_last
%如果現在的點和原有的點在同一區域，則不管它
%如果不在同一區域，檢測新的點是否已經被佔用
if xy_end(pos_id_now)==1
%如果該點被佔用，說明出現與其它流線太近的情況，則直接停止
j=j-1;
break
else
%如果沒被佔用，則把新點添加上
xy_end(pos_id_now)=1;
pos_id_last=pos_id_now;
end
end
%順便標記xy_start
pos_id_s=axis2id(sl_i(j,1),sl_i(j,2),dstart);
xy_start(pos_id_s)=1;
end
sl_i(j:end,:)=[];
end
function pos_id=axis2id(x,y,distance)
N=ceil((0.5-distance/2)/distance)*2+1;%分割的數量
min_distance=(1-(N-2)*distance)/2;%兩端最小的距離
%x的位置
if x<=min_distance
pos_id_x=1;
elseif x>=1-min_distance
pos_id_x=N;
else
pos_id_x=ceil((x-min_distance)/distance)+1;
end
%y的位置
if y<=min_distance
pos_id_y=1;
elseif y>=1-min_distance
pos_id_y=N;
else
pos_id_y=ceil((y-min_distance)/distance)+1;
end
%xy轉ind
pos_id=sub2ind([N,N],pos_id_y,pos_id_x);
end
function plot_arrow(xy_lim,xy_ratio,xy_arrow,arrow_color,arrow_width,arrow_direction)
%初始化箭頭形狀（歸一化的形狀）
arrow_0=[0,0;-1,0.5;-1,-0.5];
%對方向進行歸一化
a_dn=arrow_direction(:)./xy_ratio(:);
a_dn=a_dn/sqrt(sum(a_dn.^2));
d=(xy_lim(4)-xy_lim(3)+xy_lim(2)-xy_lim(1))/2;
%箭頭對窗口縮放
arrow_1=arrow_0*arrow_width*0.03*d;
%箭頭旋轉
arrow_2=arrow_1*[a_dn(1),a_dn(2);-a_dn(2),a_dn(1)];
%箭頭變形
xy_ratio_n=xy_ratio/sqrt(sum(xy_ratio.^2));%對比例尺歸一化
arrow_3=arrow_2.*xy_ratio_n+xy_arrow;
fill(arrow_3(:,1),arrow_3(:,2),arrow_color,'EdgeColor','none')
end
4 運動的彩色箭頭流線圖
一開始我本來是打算用第2小節的方式繪製一個動圖，但是發現原來的箭頭（粒子）離開之後，沒有新的箭頭進行補充。如果明確流場的入口和出口，可以採用出口離開多少粒子，就在入口添加多少粒子的方式，維持流場內數量恆定。但是對於複雜流場則不容易做到這點。
因此，我採用了均勻流線的方式，每次運動完成後，刪除離得太近的流線，然後在空白處補充新的流線。效果如下：
這樣做的優點在於每一幀都滿足均勻流線的要求，而且保證絕大多數流線不會憑空的產生和消失，即使是消失也是逐漸消失。
代碼如下：
clear
clc
close all
%繪製彩色長線圖（長短不同，而且是會動的那種gif圖）
%載入數據
load wind
N=5; xx=x(:,:,N); yy=y(:,:,N); uu=u(:,:,N); vv=v(:,:,N);
xmin=min(xx,[],'all');xmax=max(xx,[],'all');
ymin=min(yy,[],'all');ymax=max(yy,[],'all');
dstart=0.03;%網格寬度
%流線求解
[streamline_sum,streamline_seed]=my_streamline_mutli(xx,yy,uu,vv,dstart,32);
%繪製變量顏色條
V2=sqrt(uu.^2+vv.^2);
N_color=16;%流線的顏色種類
P=V2;%把速度作爲顏色的變量
P_max=max(P,[],'all');
P_min=min(P,[],'all');
mcp=colormap(jet(N_color));
P_seed=interp2(xx,yy,P,streamline_seed(:,1),streamline_seed(:,2));
[~,~,P_color] = histcounts(P_seed(:),linspace(P_min,P_max,N_color));
mlw=linspace(0.5,2,N_color);
%繪製流線
figure(1)
hold on
for j=1:size(streamline_sum,2)
plot(streamline_sum{j}(:,1),streamline_sum{j}(:,2),'color',mcp(P_color(j),:)...
,'linewidth',mlw(P_color(j)));%繪製流線
end
xlim([xmin,xmax])
ylim([ymin,ymax])%固定圖窗大小
caxis([P_min,P_max])%設定顏色條範圍
colorbar%顯示色條
xy_ratio = get(gca, 'DataAspectRatio');
xy_ratio = xy_ratio(1:2);
xy_lim = axis;
for k=1:size(streamline_sum,2)
%繪製箭頭
if size(streamline_sum{k},1)<=2
continue
end
arrow_direction=streamline_sum{k}(end,:)-streamline_sum{k}(end-1,:);
plot_arrow(xy_lim,xy_ratio,streamline_sum{k}(end,:),mcp(P_color(k),:),mlw(P_color(k)),arrow_direction)
end
hold off
%保存gif圖
frame=getframe(gca);
im=frame2im(frame);
[I,map]=rgb2ind(im,36);
imwrite(I,map,'temp.gif','gif', 'Loopcount',inf,'DelayTime',0.08);%第一張
%後續的變化
for k=1:60
%延長dt秒之後的圖像
streamline_sum=my_streamline_time(xx,yy,uu,vv,streamline_sum,dstart,0.05);
figure(1)
clf
hold on
for j=1:size(streamline_sum,2)
sl_i=streamline_sum{j};
if isempty(sl_i)
continue
end
L_sl_i=size(sl_i,1);
P_sl=interp2(xx,yy,P,sl_i(round(L_sl_i/2),1),sl_i(round(L_sl_i/2),2));
[~,~,P_color] = histcounts(P_sl,linspace(P_min,P_max,N_color));
P_color(P_color==0)=1;
plot(sl_i(:,1),sl_i(:,2),'color',mcp(P_color,:)...
,'linewidth',mlw(P_color));%繪製流線
%繪製箭頭
if size(sl_i,1)<=2
continue
end
arrow_direction=sl_i(end,:)-sl_i(end-1,:);
plot_arrow(xy_lim,xy_ratio,sl_i(end,:),mcp(P_color,:),mlw(P_color),arrow_direction)
end
hold off
xlim([xmin,xmax])
ylim([ymin,ymax])%固定圖窗大小
caxis([P_min,P_max])%設定顏色條範圍
colorbar%顯示色條
pause(0.5)
%保存gif圖
frame=getframe(gca);
im=frame2im(frame);
[I,map]=rgb2ind(im,36);
imwrite(I,map,'temp.gif','gif','WriteMode','append','DelayTime',0.08);
end
function [streamline_sum,streamline_seed]=my_streamline_mutli(x,y,u,v,dstart,num)
%繪製流線
%0處理前設置
%設置網格密度(01區間內歸一化的長度）
%dstart=0.05;默認0.05
dend=0.5*dstart;
xmin=min(x,[],'all');xmax=max(x,[],'all');
ymin=min(y,[],'all');ymax=max(y,[],'all');
%歸一化，將流場縮放爲0-1區間的矩形
xn=(x-xmin)/(xmax-xmin);
yn=(y-ymin)/(ymax-ymin);
un=u/(xmax-xmin);
vn=v/(ymax-ymin);
F_u = griddedInterpolant(xn',yn',un','linear');
F_v = griddedInterpolant(xn',yn',vn','linear');
F_u_n = griddedInterpolant(xn',yn',-un','linear');
F_v_n = griddedInterpolant(xn',yn',-vn','linear');
num_start=ceil((0.5-dstart/2)/dstart)*2+1;
num_end=ceil((0.5-dend/2)/dend)*2+1;
%初始化所有網格點，0代表可以放置新點，1代表已經存在原有的點
xy_start=zeros(num_start,num_start);
xy_end=zeros(num_end,num_end);
%將流線劃分爲num種，速度越大的流線越長
length_sl=linspace(5,40,num);
V2=sqrt(un.^2+vn.^2);
V2_min=min(V2,[],'all');
V2_max=max(V2,[],'all');
V2_space=linspace(V2_min,V2_max,num+1);
%1當xy_start內還有可放置的新點的位置時，進行循環
k=0;%循環次數，也是流線個數
while ~all(xy_start,'all')
k=k+1;
%2隨機一個start內網格點作爲種子點
[start_id_y,start_id_x]=find(xy_start==0);
randnum=randi(size(start_id_y,1));
x_pos_i=id2axis(dstart,start_id_x(randnum,1));
y_pos_i=id2axis(dstart,start_id_y(randnum,1));
streamline_seed(k,:)=[x_pos_i,y_pos_i];%保存種子點
%3繪製流線
streamline_i_1=stream2_RK2(F_u ,F_v ,x_pos_i,y_pos_i,0.01,20);
streamline_i_2=stream2_RK2(F_u_n,F_v_n,x_pos_i,y_pos_i,0.01,20);
%4以xy_end爲標準，刪除自相交或間隔太近的點。並順便標記xy_end
[streamline_i_1,xy_end,xy_start]=delete_self(streamline_i_1,xy_end,dend,xy_start,dstart);
[streamline_i_2,xy_end,xy_start]=delete_self(streamline_i_2,xy_end,dend,xy_start,dstart);
%5保存
streamline_k=[flipud(streamline_i_2);streamline_i_1(2:end,:)];%新的流線
streamline_sum{k}=[xmin+streamline_k(:,1)*(xmax-xmin),ymin+streamline_k(:,2)*(ymax-ymin)];%從歸一化還原
end
streamline_seed=[streamline_seed(:,1)*(xmax-xmin)+xmin,streamline_seed(:,2)*(ymax-ymin)+ymin];
end
function xpoint=id2axis(distance,id)
%取網格的中點
N=ceil((0.5-distance/2)/distance)*2+1;%分割的數量
min_distance=(1-(N-2)*distance)/2;%兩端最小的距離
if id==1
xpoint=min_distance/2;
elseif id==N
xpoint=1-min_distance/2;
else
xpoint=min_distance+(id-1.5)*distance;
end
end
function [sl_i,xy_end,xy_start]=delete_self(sl_i,xy_end,dend,xy_start,dstart)
%sl_i streamline流線，兩列N行形式
N=size(sl_i,1);
pos_id_last=axis2id(sl_i(1,1),sl_i(1,2),dend);
xy_end(pos_id_last)=1;%第一個點標記
%順便標記xy_start
pos_id_s=axis2id(sl_i(1,1),sl_i(1,2),dstart);
xy_start(pos_id_s)=1;
for j=2:N
pos_id_now=axis2id(sl_i(j,1),sl_i(j,2),dend);
if pos_id_now~=pos_id_last
%如果現在的點和原有的點在同一區域，則不管它
%如果不在同一區域，檢測新的點是否已經被佔用
if xy_end(pos_id_now)==1
%如果該點被佔用，說明出現與其它流線太近的情況，則直接停止
j=j-1;
break
else
%如果沒被佔用，則把新點添加上
xy_end(pos_id_now)=1;
pos_id_last=pos_id_now;
end
end
%順便標記xy_start
pos_id_s=axis2id(sl_i(j,1),sl_i(j,2),dstart);
xy_start(pos_id_s)=1;
end
sl_i(j:end,:)=[];%刪除停止之後剩餘的流線
end
function pos_id=axis2id(x,y,distance)
N=ceil((0.5-distance/2)/distance)*2+1;%分割的數量
min_distance=(1-(N-2)*distance)/2;%兩端最小的距離
%x的位置
if x<=min_distance
pos_id_x=1;
elseif x>=1-min_distance
pos_id_x=N;
else
pos_id_x=ceil((x-min_distance)/distance)+1;
end
%y的位置
if y<=min_distance
pos_id_y=1;
elseif y>=1-min_distance
pos_id_y=N;
else
pos_id_y=ceil((y-min_distance)/distance)+1;
end
%xy轉ind
pos_id=sub2ind([N,N],pos_id_y,pos_id_x);
end
function plot_arrow(xy_lim,xy_ratio,xy_arrow,arrow_color,arrow_width,arrow_direction)
%初始化箭頭形狀（歸一化的形狀）
arrow_0=[0,0;-1,0.5;-1,-0.5];
%對方向進行歸一化
a_dn=arrow_direction(:)./xy_ratio(:);
a_dn=a_dn/sqrt(sum(a_dn.^2));
d=(xy_lim(4)-xy_lim(3)+xy_lim(2)-xy_lim(1))/2;
%箭頭對窗口縮放
arrow_1=arrow_0*arrow_width*0.03*d;
%箭頭旋轉
arrow_2=arrow_1*[a_dn(1),a_dn(2);-a_dn(2),a_dn(1)];
%箭頭變形
xy_ratio_n=xy_ratio/sqrt(sum(xy_ratio.^2));%對比例尺歸一化
arrow_3=arrow_2.*xy_ratio_n+xy_arrow;
fill(arrow_3(:,1),arrow_3(:,2),arrow_color,'EdgeColor','none')
end
function streamline_i=stream2_RK2(F_u,F_v,startx,starty,dt,N)
%繪製流線，採用RK方法
%利用改進歐拉法（或者叫2階Runge-Kutta,預估校正）
streamline_i=zeros(N,2);
streamline_i(1,:)=[startx,starty];
x_old=startx;y_old=starty;
for k=2:N
u_K1 = F_u(x_old,y_old)*dt;
v_K1 = F_v(x_old,y_old)*dt;
u_K2 = F_u(x_old+0.5*u_K1,y_old+0.5*v_K1)*dt;
v_K2 = F_v(x_old+0.5*u_K1,y_old+0.5*v_K1)*dt;
x_new=x_old+0.5*(u_K1+u_K2);
y_new=y_old+0.5*(v_K1+v_K2);
%保存
streamline_i(k,:)=[x_new,y_new];
x_old=x_new;y_old=y_new;
if isnan(x_new) || isnan(y_new)
streamline_i(k+1:end,:)=[];
break
end
if 0>x_new || 0>y_new || x_new>1 || y_new>1
%由於插值結果都是在0-1區間內的歸一化數據，所以超出邊界的刪除。
streamline_i(k+1:end,:)=[];
break
end
end
end
function streamline_sum=my_streamline_time(x,y,u,v,streamline_sum,dstart,dt)
%0處理前設置
xmin=min(x,[],'all');xmax=max(x,[],'all');
ymin=min(y,[],'all');ymax=max(y,[],'all');
%歸一化，將流場縮放爲0-1區間的矩形
xn=(x-xmin)/(xmax-xmin);
yn=(y-ymin)/(ymax-ymin);
un=u/(xmax-xmin);
vn=v/(ymax-ymin);
streamline_sum(cellfun(@isempty,streamline_sum))=[];%刪除空數組
%排序，優先保證長線段不被刪除
L_sl=zeros(length(streamline_sum),1);
for k=1:length(streamline_sum)
L_sl(k)=sum((streamline_sum{k}(end,:)-streamline_sum{k}(1,:)).^2);
end
[~,I]=sort(L_sl,'descend' );
streamline_sum(:,[1:length(streamline_sum)])=streamline_sum(:,[I]);
%設置網格密度(01區間內歸一化的長度）
%dstart=0.05;默認0.05
dend=0.5*dstart;
%每一條流線隨時間的變化
F_u = griddedInterpolant(xn',yn',un','linear');
F_v = griddedInterpolant(xn',yn',vn','linear');
F_u_n = griddedInterpolant(xn',yn',-un','linear');
F_v_n = griddedInterpolant(xn',yn',-vn','linear');
num_start=ceil((0.5-dstart/2)/dstart)*2+1;
num_end=ceil((0.5-dend/2)/dend)*2+1;
for k=1:length(streamline_sum)
sl_i=streamline_sum{k};
if isempty(sl_i)
continue
end
if any(isnan(sl_i(end,:)))
sl_i(1,:)=[];
else
sl_i(1,:)=[];
if isempty(sl_i)
continue
end
sl_i_n=(sl_i-[xmin,ymin])./[(xmax-xmin),(ymax-ymin)];%歸一化流線
sl_i_now=stream2_RK2(F_u ,F_v ,sl_i_n(end,1),sl_i_n(end,2),dt,2);
sl_i_n=[sl_i_n;sl_i_now(2,:)];
sl_i=sl_i_n.*[(xmax-xmin),(ymax-ymin)]+[xmin,ymin];%反歸一化
end
streamline_sum{k}=sl_i;
end
streamline_sum(cellfun(@isempty,streamline_sum))=[];%刪除空數組
xy_start=zeros(num_start,num_start);
xy_end=zeros(num_end,num_end);
for k=1:length(streamline_sum)
sl_i=streamline_sum{k};
sl_i=flipud(sl_i);%刪除尾部，保留頭部
sl_i_n=(sl_i-[xmin,ymin])./[(xmax-xmin),(ymax-ymin)];%歸一化流線
%以xy_end爲標準，刪除自相交或間隔太近的點。並順便標記xy_end
[sl_i_n,xy_end,xy_start]=delete_self(sl_i_n,xy_end,dend,xy_start,dstart);
sl_i=sl_i_n.*[(xmax-xmin),(ymax-ymin)]+[xmin,ymin];%反歸一化
sl_i=flipud(sl_i);
streamline_sum{k}=sl_i;
end
%之後還有一些區域太空，所以重新在那些區域生成流線
while ~all(xy_start,'all')
k=k+1;
%2隨機一個start內網格點作爲種子點
[start_id_y,start_id_x]=find(xy_start==0);
randnum=randi(size(start_id_y,1));
x_pos_i=id2axis(dstart,start_id_x(randnum,1));
y_pos_i=id2axis(dstart,start_id_y(randnum,1));
%3繪製流線
streamline_i_1=stream2_RK2(F_u ,F_v ,x_pos_i,y_pos_i,0.01,20);
streamline_i_2=stream2_RK2(F_u_n,F_v_n,x_pos_i,y_pos_i,0.01,20);
%4以xy_end爲標準，刪除自相交或間隔太近的點。並順便標記xy_end
[streamline_i_1,xy_end,xy_start]=delete_self(streamline_i_1,xy_end,dend,xy_start,dstart);
[streamline_i_2,xy_end,xy_start]=delete_self(streamline_i_2,xy_end,dend,xy_start,dstart);
%5保存
sl_i_n=[flipud(streamline_i_2);streamline_i_1(2:end,:)];%新的流線
sl_i=sl_i_n.*[(xmax-xmin),(ymax-ymin)]+[xmin,ymin];%反歸一化
streamline_sum{k}=sl_i;
end
end