1簡介
String Art是一種只利用釘子和線進行作畫的一種藝術，通過線的稠密度來表現不同的圖案。下圖爲藝術家Petros Vrellis的一副作品。
在2018年，一篇《String Art: Towards Computational Fabrication of String Images》的論文介紹瞭如何利用數學的方式，利用計算機輔助進行直線藝術的繪製。
文章中首先建立了像素畫直線的模型，然後利用優化模型對每個節點處線的佈置進行優化，得到期望的圖像。
本博客仿照論文中的思想，自己編程嘗試進行得到相似的結果。
2 直線模型的建立
首先將圖片進行像素化，以便之後的定量計算。
直線的像素化採用的是：計算機圖形學筆記-三種畫線算法https://blog.csdn.net/Hnubama/article/details/50927006
這篇文章中的DDA方法。
採用隨機布點的方式進行實驗，最終呈現效果如下：
爲了方便考慮重疊的情況，假設線越密集，該像素點的值越大（但不能超過某一個值）
%繪製直線算法
Ymax=100;
Xmax=100;
%畫布XY爲[0,0]到[Y,X]的0矩陣，格式爲zeros(Y,X)
XY=zeros(Ymax+1,Xmax+1);%創建畫布
%創建點，格式爲[pAx,pAy,pBx,pBy]
N=30;
pApB=zeros(N,4);
for j=1:N
pApB(j,:)=round([Xmax*rand(),Ymax*rand(),Xmax*rand(),Ymax*rand()]);
end
%進行隨機直線繪畫
for j=1:N
XYi=zeros(Ymax+1,Xmax+1);%創建畫布
[xi,yi]=drawline(pApB(j,:));
XYi(sub2ind(size(XYi),yi+1,xi+1))=0.5;
XY=XY+XYi;
end
XY(XY>1)=1;
pcolor(XY)
function [xi,yi]=drawline(pApB)
%在畫布XY上給出直線的索引,所以pA和pB的範圍不能超出畫布
%pA,pB爲2元素整數向量，如[11,31]
pA=pApB(1:2);
pB=pApB(3:4);
dx=pB(1)-pA(1);
dy=pB(2)-pA(2);
if abs(dx)>=abs(dy)
K=abs(dx);
xi=round(linspace(pA(1),pB(1),K));
yi=round(linspace(pA(2),pB(2),K));
elseif abs(dx)<abs(dy)
K=abs(dy);
xi=round(linspace(pA(1),pB(1),K));
yi=round(linspace(pA(2),pB(2),K));
end
end
3 優化方法
對於一個圓形的釘子陣，對每個釘子從1到N進行編號，並假設每個釘子之間的連線最多隻有1條。則最終線之間的連接方式可以用一個對稱的矩陣表示，矩陣的數值只有0和1兩種情況，1代表所對應的行號和列號的釘子之間存在連線，0則代表沒有。
之後就可以利用矩陣的對稱性，將三角矩陣展開成一個數組。此時二維問題被簡化爲1維問題。又由於該1維數組是二進制數組，作爲優化的自變量，這個問題適合用ga（遺傳算法）進行優化。
在已知該二進制數組的情況下，也可以反向推導出輸出圖像，如下圖。
之後求出輸出圖像與原圖像的殘差，並認爲目標函數的殘差最小即爲最佳優化。
此外由於邊緣部分的一般不是很重要，所以對在寫評價函數時，利用高斯函數，賦予中心較大的權重，賦予邊緣較小的權重。
二進制ga算法採用的是Yarpiz的matlab程序，下載地址爲
https://ww2.mathworks.cn/matlabcentral/fileexchange/52856-binary-and-real-coded-genetic-algorithms?requestedDomain=zh
4 結果
首先實驗已知解的情況。當目標圖形爲一個圓環時，對應的連線解爲相鄰連線的包絡圖形。
可以看到雖然輸出圖像在有限步的優化迭代中並沒有達到最佳的解，但也相差不大，證明整體的思路方法時沒有問題的。
之後嘗試用真實的圖片進行嘗試。
模型用了100個固定釘子點，畫布爲200×200像素的畫布。最終結果並不是很好。灰度圖上基本相似，但是距原圖的差距還很遠（隔遠了縮小看還是能大概看出來的）。
對比論文中的效果圖，論文中用了超過200多個點，上千的像素畫布進行計算，所以效果要好得多。下圖爲論文效果圖的細節。
所以爲了更好的還原圖像，需要更高的像素的畫布和更多的點。然而更大的畫布與更多的點意味着更大的計算量，本文由於電腦計算量有限，所以難以展現更精緻的圖案。