用遞歸樹方法求解遞歸式

用遞歸樹方法求解遞歸式

[備註：需要修改]
一個遞歸算法的遞歸式：$T\left(n\right)=3T\left(n/4\right)+cn^2$

我們先來了解一下這個遞歸式什麼意思：

• $3$ 表示我們將一個問題分解爲$3$個子問題；
• $n/4$ 則表明每個子問題的規模是原問題的$1/4$；
• $T\left(\right)$ 表明的爲遞歸形式；
• $cn^2$ 表明爲合併需要的時間，其中$c$爲常數係數$c>0$。其實也就是算法度$Θ\left(n^2\right)$。

好的嘞~，現在來看遞歸樹：

我們可以從上圖中得出：

• 該樹的長度爲：$log_{4}n$。理由爲：
      原本問題的規模爲$n$，到了樹的最底層，則爲$1$了，也就是說，每往下一層，則規模爲$1/4$，我們假設它除去了$i$個$4$（$i$個結點），也就是說，$n\div4_{1}\div4_{2}\div..\div4_{i}=1$，換個思維，可以說是：$4^i=n$，換算一下也就是$i=log_{4}n$

• 每往下一層，其子問題得規模爲原問題$1/4$，也可以說是根據其結點，也就是結點每往下一層，其規模減少$1/4$，我們設置結點爲$i$，就可以得到第$i$層的規模將減少至原規模的$\dfrac {1}{4^{i}}$，又因爲$n$爲原規模，所以可以得出：
      當結點爲$i$的時候，得出規模爲：$\dfrac {n}{4^{i}}$

• 每層的節點數都是上層的$3$倍，所以，當結點爲$i$時，因此深度爲$i$的結點數爲$3^i$

• 我們可以看到遞歸樹的最上面那層，表示一開始的代價爲$cn^2$，我們上面求出了結點爲$i$的時候，規模爲：$\dfrac {n}{4^{i}}$，我現在將其轉爲代價，結點爲$i$的時候，代價爲 $c\left(\dfrac {n}{4^{i}}\right)^2$，我們需要把結點數也算上，結點爲$i$時，有$3^i$個結點，最後乘起來，得到：
      $3^i\cdot c\left(\dfrac {n}{4^{i}}\right)^2=\left(\dfrac {3}{16}\right)^{i}cn^{2}$

現在我們可以用級和去求總代價：

    $T\left(n\right)=\sum ^{log_{4}n}_{i=0}\left(\dfrac {3}{16}\right)^{i}cn^{2}$  $①$

       $=cn^{2}+\left(\dfrac {3}{16}\right)^{}cn^{2}+\left(\dfrac {3}{16}\right)^{2}cn^{2}+...+\left(\dfrac {3}{16}\right)^{log_{4}n-1}cn^{2}+\left(\dfrac {3}{16}\right)^{log_{4}n}cn^{2}$

    根據公式$\sum ^{n}_{k=0}x^{k}=\dfrac {x^{n+1}-1}{x-1}$得出：

    $\dfrac {\left(\dfrac {3}{16}\right)^{log_{4}n+1}-1}{\dfrac {3}{16}-1}\cdot cn^{2}$

emmmmm，最後的結果好像有點凌亂…
沒事~，按照算法導論的思路，我們可以利用一定程度的不精確，將級和$\sum ^{log_{4}n}_{i=0}\left(\dfrac {3}{16}\right)^{i}cn^{2}$的$log_{4}n$改爲$∞$，也就是無窮大。且$\sum ^{log_{4}n}_{i=0}\left(\dfrac {3}{16}\right)^{i}cn^{2}<\sum ^{∞}_{i=0}\left(\dfrac {3}{16}\right)^{i}cn^{2}$

    根據公式$\sum ^{∞}_{i=0}x^{k}=\dfrac {1}{1-x}$得出：

    $\dfrac {1}{1-\left(\dfrac {3}{16}\right)}\cdot cn^{2}=\left(\dfrac {16}{13}\right)cn^{2}=Θ(n^2)$

---

$①$ 原本在算法導論上的算式應該是這樣寫的：

    $T\left(n\right)=\sum ^{log_{4}n-1}_{i=0}\left(\dfrac {3}{16}\right)^{i}cn^{2}+Θ\left(n^{log_{4}3}\right)$

       $=cn^{2}+\left(\dfrac {3}{16}\right)^{}cn^{2}+\left(\dfrac {3}{16}\right)^{2}cn^{2}+...+\left(\dfrac {3}{16}\right)^{log_{4}n-1}cn^{2}+Θ\left(n^{log_{4}3}\right)$

和我自己前面寫的的的表達式有些不同，其實就是把我級和的$log4​n​$減去$1$，然後把最後一項單獨拿出來寫，也就是$\left(\dfrac {3}{16}\right)^{log_{4}n}cn^{2}$，且經過轉化爲後，爲$Θ\left(n^{log_{4}3}\right)$。也就是說，其實$Θ\left(n^{log_{4}3}\right)$和$\left(\dfrac {3}{16}\right)^{log_{4}n}cn^{2}$是一樣的。

根據書上所說：
樹的最底層深度爲$log_{4}n$，有$3^{log_{4}n}=n^{log_{4}3}$個結點，每個結點的代價爲$T\left(1\right)$，總代價爲$n^{log_{4}3}T\left(1\right)$，即爲$Θ\left(n^{log_{4}3}\right)$。

中間將結點$3^{log_{4}n}$轉化爲$n^{log_{4}3}$算式如下：

    利用其公式$a^{log_{a}N}=N$得出：

    $3=n^{log_{n}3}$

    利用其公式$log_{b}N=\dfrac {log_{a}N}{log_{a}b}=\dfrac {lgN}{lgb}$得出：

    $3=n^{log_{n}3}=n^{lg3/lgn}$

    將這個這個算式代入$3^{log_{4}n}$中去：

    $3^{log_{4}n}=\left(n^{lg3/lgn}\right)^{log_{4}n}$

    對括號外層的對數也利用其公式$log_{b}N=\dfrac {log_{a}N}{log_{a}b}=\dfrac {lgN}{lgb}$得出：

    $3^{log_{4}n}=\left(n^{lg3/lgn}\right)^{log_{4}n}=\left(n^{lg3/lgn}\right)^{lgn/lg4}$
                $=n^{lg3/lgn\cdot lgn/lg4}$
                $=n^{lg3/lg4}$
                $=n^{log_{4}3}$

就算是按照我的那個方式去寫，也無所謂，我們也可以直接將$\left(\dfrac {3}{16}\right)^{log_{4}n}cn^{2}$轉換爲$n^{log_{4}3}$：

    $\left(\dfrac {3}{16}\right)^{log_{4}n}cn^{2}=3^{log_{4}n}\cdot \dfrac {1}{16^{log_{4}n}}\cdot cn^{2}=3^{log_{4}n}\cdot \dfrac {1}{4^{log_{4}n\cdot 2}}\cdot cn^{2}=3^{log_{4}n}\cdot \dfrac {1}{n^{2}}\cdot cn^{2}=3^{log_{4}n}=n^{log_{4}3}$

---