【推荐算法】PersonRank算法原理●Python实现

PersonRank的原理同PageRank与TextRank算法，其基本原理都是基于随机游走而来。

要想从深层次的理解PersonRank这类算法，必须从微观上观察数据的具体流向过程，所以这次就把随机游走前两步的过程描述出来，在心里有个大概的印象。

1. 随机游走

下图描述的是三个用户$A、B、C$与四件商品$a、b、c、d$之间的关系，连线表示购买记录，所以边不设置权重，由图可以看出

A 购买过： a、c
B 购买过： a、b、c、d
C 购买过： c、d

由于A没有直接的连线和其他的商品进行联系，我们又想给A推荐商品，所以，可以从商品出发，经过其他的用户，通往其他的商品。

现在我们要为A推荐商品，实际上就是计算A对所有商品的感兴趣程度，由于在PersonRank算法中不区分用户节点和商品节点，这样一来问题就转化成：对节点A来说，节点$A、B、C、a、b、c、d$的重要度各是多少？也就是计算各个节点的$PR$值是多少？

由于随机游走需要指定一个起点，从该起点开始游走，给A推荐商品，则从A开始游走，假设初始赋予 $PR(A)=1$，其余各节点的$PR$值为0。【注：一般PageRank里假设每个节点的初始值是一样的，其和为1】另外，在图上游走。每次都是从$PR$不为$0$的节点开始游走，往前走一步。继续游走的概率是α，停留在当前节点的概率是1−α。

此处的α其实就是前面Pagerank里面提到的阻尼系数$\alpha$，为了便于理解与计算，假设$α$为0.5，则：

第一次游走， 从A节点出发，走一步。

从$A$节点出发的概率为$0.5$，则到$a$的概率为$0.5×0.5=0.25$，则到c的概率为$0.5×0.5=0.25$,这样a和c就分得了A的部分$PR$值。此时$PR$值变为：

PR(A) = 0.5
PR(a) = 0.25
PR(c) = 0.25

第二次游走，分别从节点$A、a、 c$开始，再往前走一步。

首先计算每个节点剩余的$PR$值：

PR(A)剩余 = PR(A)发出 = 0.5 × 0.5 = 0.25
PR(a)剩余 = PR(a)发出 =  0.25 × 0.5 = 0.125
PR(c)剩余 = PR(c)发出 =  0.25 × 0.5 = 0.125

再计算每个节点得到的新的$PR$值：

PR(A)得到 = 1/3 × PR(c)发出 + 1/2 × PR(a)发出 = 0.0417 + 0.0625 = 0.104
PR(B)得到 = 1/2 × PR(a)发出 + 1/3 × PR(c)发出 = 0.0625 + 0.0417 = 0.104
PR(C)得到 = 1/3 × PR(c)发出 = 0.0417
PR(a)得到 = 1/2 × PR(A)发出 = 0.125
PR(c)得到 = 1/2 × PR(A)发出 = 0.125

每个点最新的$PR$值为：

PR(A) = 0.25 + 0.104 = 0.354
PR(B) = 0.104
PR(C) = 0.0417
PR(a) = 0.125 + 0.125 = 0.25
PR(c) = 0.125 + 0.125 = 0.25

2. PersonRank公式

从以上两个步骤，我们可以从微观上感受到了随机游走的实际意义，这也是PersonRank算法的计算过程。
其实，从数学的角度来说，每一次的游走都是进行了一次矩阵的运算，初始的PR值向量$U_0$，经过多次与转移概率矩阵M相乘，就会使得PR值向量$U_n$趋于稳定，其公式可以表示为：

$U = \alpha M^T U_{n-1} + (1-\alpha)U_{n-1}$

由于这个过程会使得起点的$PR$值无法始终维持最大，所以，对式子进行了变化，如下
U₀ = [¹/_n，¹/_n，… ¹/_n]

$U_n = \alpha M^T U_{n-1} + (1-\alpha)U_{0}$

其中$U$为初始的$PR$值向量，本例子中$U_0$为[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
通过观察以上的公式，假如$U_n$趋于稳定的时候，$U_n$应该等于$U_{n-1}$，所以令$U_n=U_{n-1}$，则：

$U_n = \alpha M^T U_n+ (1-\alpha)U_{0}$

所以：

$U_n = \alpha M^T U_n + (1-\alpha)U_{0}$

所以：

$(E-\alpha M^T)U_n =(1-\alpha)U_{0}$

所以：

$U_n =(E-\alpha M^T)^{-1} + (1-\alpha)U_{0}$

所以可以一步求出$U_n$

3. 具体实现

本例子中：
$U_0$为：
[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
$M$为：

[[0.   , 0.   , 0.   , 0.5  , 0.   , 0.5  , 0.   ],
 [0.   , 0.   , 0.   , 0.25 , 0.25 , 0.25 , 0.25 ],
 [0.   , 0.   , 0.   , 0.   , 0.   , 0.5  , 0.5  ],
 [0.5  , 0.5  , 0.   , 0.   , 0.   , 0.   , 0.   ],
 [0.   , 1.   , 0.   , 0.   , 0.   , 0.   , 0.   ],
 [0.33 , 0.33 , 0.33 , 0.   , 0.   , 0.   , 0.   ],
 [0.   , 0.5  , 0.5  , 0.   , 0.   , 0.   , 0.   ] ]

具体计算过程参考以下代码：
Github链接
另外：
SimRank可以参考这位博主的：https://www.cnblogs.com/zhangchaoyang/articles/4575809.html