连载｜线性回归

线性模型｜线性回归

基本形式

给定由d个属性描述的示例$X=(x_1;x_2;...;x_d)$，其中$x_i$是$X$在第i个属性上的取值，线性模型想要通过一个属性的线性组合来得到一个预测的函数，即：

$f(x)=w_1x_1+w_2x_2+...+w_dx_d+b$

一般用向量的形式可以写成：

$f(x)=w^TX+b$

其中$w=(w_1;w_2;...;w_d)$，当w和b学得之后，模型就得以确定。

回归分析

回归分析是用来评估变量之间关系的统计过程，用来解释自变量x与因变量y之间的关系，即当自变量x发生改变时，因变量y会如何发生改变。

线性回归

线性回归是回归分析的一种，评估的自变量x和因变量y之间是一种线性关系。当只有一个自变量时，称为简单线性回归，当具有多个自变量时，称为多元线性回归。

对线性关系的理解：

• 画出来的图像是直的。
• 每个自变量的最高次项是1。

简单的线性回归我们可以直接表示成如下形式：

$\widehat{y}=wx+b$

注：此时的自变量只有一个值。

多元线性回归有多个自变量的值，而对于每一个自变量x都有一个与其对应的参数w，我们可以把x和w表示出向量或者矩阵的形式，表示方法如下：

$\widehat{y}=w^TX+b$

对于向量来说可以展开成下面的形式：

$w^T={w_1,w_2,...,w_n}$

$X=x_1,x_2,...,x_n$

$\widehat{y}=w_1x_1+w_2x_2+...+w_nx_n+b$

简单线性回归的代码展示如下

import numpy as np
# 线性回归函数
from sklearn.linear_model import LinearRegression
# 用于切分数据集
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.datasets import load_iris

# 加载鸢尾花数据集
iris = load_iris()
# 使用花瓣长和花瓣宽作为x,y
X, y = iris.data[:, 2].reshape(-1, 1), iris.data[:, 3]

lr = LinearRegression()
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X,
                                                    y,
                                                    test_size=0.25,
                                                    random_state=0)
lr.fit(X_train, y_train)
print("权重:", lr.coef_)
print("截距:", lr.intercept_)
y_hat = lr.predict(X_test)
print("拟合函数:", 'y={}x+{}'.format(lr.coef_[0], lr.intercept_))

import matplotlib.pyplot as plt

# mac下使用中文
plt.rcParams["font.family"] = 'Arial Unicode MS'
# win下使用中文
# plt.rcParams["font.family"] = 'SimHei'
plt.rcParams["axes.unicode_minus"] = False
plt.rcParams["font.size"] = 15

plt.figure(figsize=(10, 6), dpi=300)
plt.scatter(X_train, y_train, c='orange', label='训练集')
plt.scatter(X_test, y_test, c='blue', marker='D', label='测试集')
plt.plot(X, lr.predict(X), 'r-')
plt.legend()
plt.xlabel("花瓣长")
plt.ylabel("花瓣宽")

plt.figure(figsize=(15, 6), dpi=300)
plt.plot(y_test, label="真实值", color='r', marker='o')
plt.plot(y_hat, label="预测值", ls='--', color='g', marker='o')
plt.xlabel("测试集数据序号")
plt.ylabel("数据值")
plt.legend()

多元线性回归的代码如下：

import numpy as np
# 线性回归函数
from sklearn.linear_model import LinearRegression
# 用于切分数据集
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.datasets import load_iris

# 加载鸢尾花数据集
iris = load_iris()
# 使用鸢尾花的data和target作为x和y
X, y = iris.data, iris.target

lr = LinearRegression()
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X,
                                                    y,
                                                    test_size=0.25,
                                                    random_state=0)
lr.fit(X_train, y_train)
print("权重:", lr.coef_)
print("截距:", lr.intercept_)
y_hat = lr.predict(X_test)
print(
    "拟合函数:",
    'y={}x1+{}x2+{}x3+{}x4+{}'.format(lr.coef_[0], lr.coef_[1], lr.coef_[2],
                                      lr.coef_[3], lr.intercept_))

线性回归的损失函数

损失函数：

理论值于观测值之差（误差、残差）的平方和。

$L=\sum _{i=1}^{n}(\widehat{y_{i}}-y_i)^2$

其中$\widehat{y_i}$表示预测值，$y_i$表示真实值。

损失函数的求解

1. 列出目标函数E（损失函数$j(\theta)$），此时的样本值用$\widehat{y_{i}}=h_{\theta}(x^{(i)})=x\theta$来表示。

2. 求损失函数关于参数的导数，使导数为0，代表损失函数最小。

3. 此时的参数即为我们所求未知解的参数。

矩阵下最小二乘法的求解过程：

首先明确一下向量和矩阵的导数:

• $\frac{\partial AX}{\partial X}=A^T$
• $\frac{\partial X^TAX}{\partial X}=(A+A^{T})X$

假设一个条件 ：满足正定矩阵$(X^TY)^T=(XY^T)^T$

• 第一步（这里的1/2）是为了方便后面的计算。

$J(\theta)=\sum _{i=1}^{n}(\widehat{y_{i}}-y_i)^2=\frac{1}{2}(X\theta-Y)^T(X\theta-Y)$

$J(\theta)=\frac{1}{2}(X^T\theta^TX\theta-X^T\theta^TY-Y^TX\theta+Y^TY)$

$\frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta}=\frac{1}{2}(2X^TX\theta-X^TY-X^TY)$

$\frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta}=X^TX\theta-X^TY$

• 第二步

令$X^TX\theta-X^TY=0$

• 第三步

解得：$\theta=(X^TX)^{-1}X^TY$

最小二乘法的求解代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 在直线 y = 5x+3 附近生成随机点
X = np.arange(0, 5, 0.1)
Z = [5 * x + 3 for  x in X]
Y = [np.random.normal(z, 0.5) for z in Z] 
plt.plot(X, Y, 'ro')
plt.show()

from scipy.optimize import leastsq

# 需要拟合的函数func :指定函数的形状
def func(p,x):
    k,b=p
    return k*x+b
 
# 误差函数：
def error(p,x,y):
    # yi-y
    return func(p,x)-y

# 设置函数的初始参数
p0=[1,20]
Para=leastsq(error,p0,args=(X,Y))
print(Para)
k,b=Para[0]

_X = [0, 5]  
_Y = [b + k * x for x in _X]

plt.plot(X, Y, 'ro', _X, _Y, 'b', linewidth=2)  
plt.title("y = {}x + {}".format(k, b))  
plt.show()