躺平國曆險記：兩個超平面之間距離的計算

王二麻聽說躺平國是一個非常神奇的地方。在躺平國裏，有各種神奇的東西。比如：會說話的鐵片，能夠分揀垃圾的小狗，還有會唱京劇的電線杆子。


王二麻的表哥張三李是一個糙漢子，他前幾年在國內混不下去了，一個人去了躺平國。那是一個快樂的國度，每一個人都可以躺平，或者做自己熱愛的事情。


他們可以把日常的事物交給特點的躺平機處理。


王二麻也想去躺平國，但是在去躺平國的路上需要經歷許許多多的困難。 他非常的畏懼。


於是，張三李一直寫信給王二麻，教張三李怎麼樣度過他路途中需要解決的困難，也會給王二麻講躺平國的奇聞異事。

• 白沙天塹

  張三李在給王二麻寫的第一封信裏面，講了王二麻會遇到的第一個關卡: 白沙天塹。

  白沙天塹是一個大峽谷，上面沒有可以通行的橋樑。白沙天塹下面是白色河，白沙和裏面白色的河沙是沒有能夠度過天塹的挑戰者的白骨的細屑，所有沒能通過白沙天塹的挑戰者被躺平國稱爲——“小白沙雕”。

  白沙天塹崖壁是平行的，這兩個崖壁之間的距離會隨機變化，但是崖壁旁邊的石臺上會展示兩個崖壁上所有點滿足的公式，並且提供一個可以跳躍寬度爲 $d$ 的 白沙靴。

  爲了能夠安全的度過白沙天塹，挑戰者必須能夠計算出天塹的兩個崖壁之間的距離。當崖壁之間的距離能夠小於等於 白沙靴 的跳躍距離的時候，王二麻就可以拿出靴子跳過天塹。

1 崖壁的表示

  爲了更簡單的描述問題，我們將兩個崖壁描述爲兩個平行的超平面。

圖 1 點到平面的距離

  如上圖1所示，爲一個超平面 $L_1$, 對超平面上的每一個點$x=(d_1,d_2,...,d_n) \in R^n$ 滿足如下條件:
$w \cdot x + b = 0$
其中，$w$ 爲超平面 $L_1$ 的法向量。

2 天塹距離的計算

  假設，白沙天塹對應的兩個崖壁表示的超平面分別爲 $L_s$ $L_e$, 其中$L_s$表示起跳超平面，$L_e$表示落地超平面。王二麻的目的就是爲了從，$L_s$ 跳到 $L_e$ 那麼我們需要計算兩個超平面之間的距離 $d$ 來判斷跳躍是否成功。

  首先，假設王二麻站定點的座標爲 $S$, 在超平面 $L_e$ 上離他最近的落地點的座標爲 $E$。

設 $L_s$ 滿足公式:
$w \cdot x + b_1 = 0$
$L_e$ 滿足公式:
$w \cdot x + b_2 = 0$

那麼:
$d = |\overrightarrow{SE}|$
並且 $\overrightarrow{SE}$ 與平面的法向量平行。
$| w \cdot \overrightarrow {SE} | = |w| |\overrightarrow {SE}| = \sqrt {w_1^2 + w_2^2 + ... + w_n^2} d = ||w||d \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (1)$

並且
$| w \cdot \overrightarrow {SE} | = |w_0 (S_0-E_0) + w_1 (S_1-E_1) + ... + w_n(S_n-E_n)| \\ = |(w_0 S_0+ w_1S_1 + ... + w_n S_n + b_1) - (w_0 E_0+ w_1E_1 + ... + w_n E_n + b_2) - b1 + b2| \\ = |-b1 + b2| \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (2)$

根據公式(1)和(2) 得到:
$||w||d = |-b1 + b2|$

那麼兩個平面的距離$d = \frac{|-b1 + b2|}{||W||}$