三種梯度下降法的對比(BGD & SGD & MBGD)

常用的梯度下降法分爲：

• 批量梯度下降法（Batch Gradient Descent）
• 隨機梯度下降法（Stochastic Gradient Descent）
• 小批量梯度下降法（Mini-Batch Gradient Descent）

簡單的算法示例

數據

x = np.random.uniform(-3,3,100)
X = x.reshape(-1,1)
y = x * 2 + 5 + np.random.normal(0, 1, 100)

BGD

批量梯度下降法的簡單實現：

def gradient_descent(X_b, y, initial_theta, eta, n_iters=1e4, epsilon=1e-8):
    def J(theta):
        return np.mean((X_b.dot(theta) - y) ** 2)
    
    def dj(theta):
        return X_b.T.dot((X_b.dot(theta) - y)) * (2 / len(y))
    
    theta = initial_theta
    for i in range(1, int(n_iters)):
        gradient = dj(theta)                   # 獲得梯度
        last_theta = theta
        theta = theta - eta * gradient    # 迭代梯度
        if np.absolute(J(theta) - J(last_theta)) < epsilon:
            break                         # 滿足條件就跳出
            
    return theta

結果是：

X_b = np.hstack([np.ones((len(y), 1)), X])
initial_theta = np.ones(X_b.shape[1])
eta = 0.1
%time s_gradient_descent(X_b, y, initial_theta, eta, n_iters=1)

## array([4.72619109, 3.08239321])

SGD

這裏n_iters表示將所有數據迭代的輪數。

def s_gradient_descent(X_b, y, initial_theta, eta, batch_size=10, n_iters=10, epsilon=1e-8):
    def J(theta):
        return np.mean((X_b.dot(theta) - y) ** 2)
    
    # 這是隨機梯度下降的，隨機一個樣本的梯度
    def dj_sgd(X_b_i, y_i, theta):
        # return X_b.T.dot((X_b.dot(theta) - y)) * (2 / len(y))
        return 2 * X_b_i.T.dot(X_b_i.dot(theta) - y_i)
    
    theta = initial_theta
    for i in range(0, int(n_iters)):
        for j in range(batch_size, len(y), batch_size):
            gradient = dj_sgd(X_b[j,:], y[j], theta)
            last_theta = theta
            theta = theta - eta * gradient         # 迭代梯度
            if np.absolute(J(theta) - J(last_theta)) < epsilon:
                break                              # 滿足條件就跳出
    return theta

結果是：

X_b = np.hstack([np.ones((len(y), 1)), X])
initial_theta = np.ones(X_b.shape[1])
eta = 0.1
%time s_gradient_descent(X_b, y, initial_theta, eta, n_iters=1)

## array([4.72619109, 3.08239321])

MBGD

在隨機梯度下降的基礎上，對dj做了一點點修改，batch_size指定批量的大小，dj每次計算batch_size個樣本的梯度並取平均值。
不得不說，同樣是迭代一輪數據，小批量梯度下降法的準確度要比隨機梯度下降法高多了。

def b_gradient_descent(X_b, y, initial_theta, eta, batch_size=10, n_iters=10, epsilon=1e-8):
    def J(theta):
        return np.mean((X_b.dot(theta) - y) ** 2)
    
    # 這是小批量梯度下降的，隨機一個樣本的梯度
    def dj_bgd(X_b_b, y_b, theta):
        # return X_b.T.dot((X_b.dot(theta) - y)) * (2 / len(y))
        return X_b_b.T.dot(X_b_b.dot(theta) - y_b) * (2 / len(y_b))
    
    theta = initial_theta
    for i in range(0, int(n_iters)):
        for j in range(batch_size, len(y), batch_size):
            gradient = dj_bgd(X_b[j-batch_size:j,:], y[j-batch_size:j], theta)
            last_theta = theta
            theta = theta - eta * gradient         # 迭代梯度
            if np.absolute(J(theta) - J(last_theta)) < epsilon:
                break                              # 滿足條件就跳出
    return theta

結果是：

X_b = np.hstack([np.ones((len(y), 1)), X])
initial_theta = np.ones(X_b.shape[1])
eta = 0.1
%time b_gradient_descent(X_b, y, initial_theta, eta, n_iters=1)

array([4.4649369 , 2.27164876])