雙機流水作業調度問題——Johnson算法

概述

流水作業是並行處理技術領域的一項關鍵技術，它是以專業化爲基礎,將不同處理對象的同一施工工序交給專業處理部件執行,各處理部件在統一計劃安排下,依次在各個作業面上完成指定的操作。
流水作業調度問題是一個非常重要的問題，其直接關係到計算機處理器的工作效率。然而由於牽扯到數據相關、資源相關、控制相關等許多問題，最優流水作業調度問題處理起來非常複雜。已經證明，當機器數(或稱工序數)大於等於3時， 流水作業調度問題是一個NP-hard問題（e.g分佈式任務調度）。粗糙地說，即該問題至少在目前基本上沒有可能找到多項式時間的算法。只有當機器數爲2時，該問題可有多項式時間的算法（機器數爲1時該問題是平凡的）。

我們先給出流水作業調度的定義：

設有$n$個作業，每一個作業$i$均被分解爲$m$項任務: $\mathrm{T}_{\mathrm{i} 1}, \mathrm{T}_{\mathrm{i} 2}, \ldots, \mathrm{T}_{\mathrm{im}}$($1 \leq i \leq n$，故共有$m * n$個任務)， 要把這些任務安排到m臺機器上進行加工。 如果任務的安排滿足下列3個條件， 則稱該安排爲流水作業調度：

1. 每個作業 i 的第 j 項任務Tij $(1 \leqslant \mathrm{i} \leqslant \mathrm{n}, 1 \leqslant \mathrm{j} \leqslant \mathrm{m})$ 只能安排在機器 $\mathrm{P}_{\mathrm{j}}$ 上進行加工
2. 作業 i 的第 j 項任務 $\mathrm{T}_{\mathrm{ij}}(1 \leq \mathrm{i} \leq \mathrm{n}, 2 \leq \mathrm{j} \leq \mathrm{m})$ 的開始加工時間均安排在第 $\mathrm{j}-1$ 項任務$\mathrm{T}_{\mathrm{ij}-1}$ 加工完畢之後，任何一個作業的任務必須依次完成，前一項任務完成之後才能開 始着手下一項任務：
3. 任何一臺機器在任何一個時刻最多隻能承擔一項任務。

最優流水作業調度是指：

設任務$\tau_{i j}$在機器$P_{j}$上進行加工需要的時間爲$t_{i j}$。 如果所有的$\mathrm{t}_{\mathrm{ij}}(1 \leqslant \mathrm{i} \leqslant \mathrm{n}, 1 \leqslant \mathrm{j} \leqslant \mathrm{m})$均已給出， 要找出一種安排任務的方法， 使得完成這 $n$個作業的加工時間爲最少。 這個安排稱之爲最優流水作業調度。

前面已經說過，當$\mathrm{m} \geq 3$時該問題是NP問題，這裏我們只給出$m = 2$時時間複雜度在多項式以內的Johnson算法。

求解流水作業調度問題的Johnson算法具體描述如下：

1、設 a[i]和 b[i] $(0 \leq i<n)$分別爲作業 i 在兩臺設備上的處理時間。建立由三元組 (作業
號，處理時間，設備號）組成的三元組表 d。其中，處理時間是指每個作業所包含的兩 個任務中時間較少的處理時間。

$\begin{array}{l} \text { 設 } \mathrm{n}=4,\left(\mathrm{a}_{0}, \mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \mathrm{a}_{3}\right)=(3,4,8,10) \text { 和 }\left(\mathrm{b}_{0}, \mathrm{b}_{1}, \mathrm{b}_{2}, \mathrm{b}_{3}\right)=(6,2,9,15) \text { 的作業 } 0 \text { 的三元組爲 } \\ (0,3,0), \text { 作業 } 1 \text { 的三元組爲 }(1,2,1) \text { 。 } \text { 如圖 }(\mathrm{a}) \text { 所示。 } \end{array}$

(a)三元組表
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text { 作業號 } & \text { 處理時間 } & \text { 設備號 } \\ \hline 0 & 3 & 0 \\ \hline 1 & 2 & 1 \\ \hline 2 & 8 & 0 \\ \hline 3 & 10 & 0 \\ \hline \end{array}$

2、對三元組表按處理時間排序，得到排序後的三元組表 d。如圖(b)所示。

(b)按處理時間排序
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text { 作業號 } & \text { 處理時間 } & \text { 設備號 } \\ \hline 1 & 2 & 1 \\ \hline 0 & 3 & 0 \\ \hline 2 & 8 & 0 \\ \hline 3 & 10 & 0 \\ \hline \end{array}$

3、對三元組表的每一項 $\mathrm{d}[\mathrm{i}](0 \leq \mathrm{i}<n),$ 從左右兩端生成最優作業排列 $\mathrm{c}[\mathrm{j}](0 \leq \mathrm{j}<n), \mathrm{c}[\mathrm{j}]$是作業號。如果 d[i]設備號爲 1，則將作業 i 置於 c 的左端末尾，否則置於 c 的右端 末尾。如圖©所示，由兩端向中間存放。

（c）最優作業排列
（0，2，3，1）

（d)最優調度方案

$\begin{array}{|l|l|l|l|l|} \hline \mathrm{p} 1 & 3 & 8 & 10 & 4 \\ \hline \mathrm{p} 2 & 6 & 9 & 15 & 2 \\ \hline \end{array}$

例題：

下面是北大PKU POJ 第2751題Saving Endeavour

有2臺機器，n件任務，必須先在S1上做，再在S2上做。任務之間先做後做任意。求最早的完工時間。

雙機調度問題Johnson算法簡析:
（1)把作業按工序加工時間分成兩個子集，第一個集合中在S1上做的時間比在S2上少，其它的作業放到第二個集合。先完成第一個集合裏面的作業，再完成第二個集合裏的作業。

（2)對於第一個集合，其中的作業順序是按在S1上的時間的不減排列；對於第二個集合，其中的作業順序是按在S2上的時間的不增排列。

Johnson算法的時間取決於對作業集合的排序,因此,在最懷情況下算法的時間複雜度爲$0(\text { nlogn })$,所需的空間複雜度爲$0(\text { n })$。

c語言代碼如下：

#include <stdio.h>
#include <memory.h>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MAXN=10005;

struct TNode
{
	int s1,s2;
}ws[MAXN];

int topf,tops;
int n;

bool operator<(TNode x,TNode y)
{
	if (x.s1<x.s2&&y.s1>=y.s2) return true;
	if (x.s1<x.s2&&y.s1<y.s2) return x.s1<y.s1;
	if (x.s1>=x.s2&&y.s1>=y.s2) return x.s2>y.s2;
	return false;
}

int max(int x,int y)
{
	return x>y?x:y;
}

void Work()
{
	sort(ws,ws+n);
	int i,t1=0,t2=0;
	for (i=0;i<n;i++)
	{
		t1+=ws.s1;
		t2=max(t1,t2)+ws.s2;
	}
	printf("%dn",t2);
}

void Read()
{
	int i;
	while (scanf("%d",&n)&&n)
	{
		for (i=0;i<n;i++)
			scanf("%d%d",&ws.s1,&ws.s2);
		Work();
	}
}

int main()
{
	Read();
	return 1;
}