挑戰408——數據結構（16）——樹的概念

從這一篇開始，進入一種新的數據結構，稱爲樹。其實在學習樹之前我們就接觸過這個結構。

樹的概念

現在我們從一幅圖中來了解一下什麼是樹狀結構：

這幅圖主要說明cart這個單詞的所有可能的組合結構，按照常理，我們先考慮三個字母的排列，然後由三個字母的排列中再進行拆分，最後重複拆分直到僅有一個字母。這個套路是不是很像我們之前學過的devide —— conquer算法？對的，這是一個遞歸的過程，也是計算機最喜歡的算法。所以樹狀結構是很符合計算機邏輯的一種數據結構。
樹，是節點（note）的集合（A tree is a collection of nodes），記得高中學集合的時候，集合是允許一個元素都沒有的集合，稱爲空集。那麼樹是不是允許一個節點都沒有的呢？是的，一個節點都沒有的樹，我們稱之爲空樹（empty tree）。如果樹不是空的，則會存在“根”節點 r 和零個或更多非空子樹T1，T2，…，Tk，它們的根由來自r的有向邊連接。什麼叫有向邊？如果不想像離散數學學的那麼深入，可以理解爲箭頭。樹通常可以表示爲層級關係：

下圖說明了樹之間的內部的關係：

• 根節點（root）：一棵樹只有一個根節點，所有的節點都在該節點的下面。嘗試把圖倒過來看，就可以看成一個我們日常見到的樹的根部。在這裏顯然 A 字母就是這棵樹的根節點。
• 子節點（child）與父節點（parent）：一個節點，它對應的下面有邊連着的節點，那麼被連着的節點就是這個節點的子節點，也叫孩子。那麼這個節點叫做被連接的節點的父親。很難轉過來？那麼就看看這圖吧。B 被 A 連着，所以B是A的一個孩子，同理 C D E等等這一行都是A的孩子。我們再看看F，它連着K L M 同時被A連着，那麼F是A的一個孩子，同時又是K L M的父親。
• 樹葉（leaves）：樹葉就是些沒有孩子的節點，比如 B， C ，D等等。就比如下圖的綠色部分 。
  
• 兄弟（siblings）：按照我們的理解，同一個父母生的當然就是兄妹啦。看圖，顏色相同的都爲兄妹：
  

我們同樣可以定義從父親到他的孩子的路徑（path）。下面的例子，我們就取上圖的樹的一部分（一個子樹），作爲例子：

比如A -> O的路徑爲 A -> E -> J -> O,它的長度爲3（實際爲它的邊樹，圖中紅色部分）。

• 節點的深度（depth of a node）：節點的深度是指節點到樹根的長度，看上圖，我們可以輕易的知道，J節點的深度爲2（可以按上面的理解，路徑爲A -> E -> J,邊長爲2）。顯然此時的根節點的深度爲0.
• 節點的高度（height of a node）：高度是從節點到葉子的最長路徑。比如節點F的高度爲1.顯然所有葉子的高度爲0。
• 樹的高度（height of a tree）：樹的高度是根的高度（顯然在這圖中，樹的高度是3，A -> O）。

樹的結構

現在讓我們來思考一下，樹有啥特點。

1. 按照正常邏輯，一個人不能同時有兩個父親，所以樹也是一樣的，一個節點不能含有兩個父節點。下面的兩個圖就說明了這個問題（它們都不是樹）：
   
2. 一棵正常的樹，它的樹枝是不會長成一個圓的，所以，樹中是不可能出現環形的，下面的圖就說明了這個問題，紅色箭頭部分就構成了一個環，它們都不是一棵樹（下面的兩幅圖也不是樹）：