優先隊列
我們回顧之前我們學過的隊列，隊列中的元素按照特定的順序進行儲存，並只能先進先出。然而，在現實生活中，我們卻想把元素按照一定的優先級儲存起來。舉個現實中的例子：
- 我們平時坐高鐵，會有所謂的頭等艙，二等艙，普通艙。
- 在銀行排隊，總會有vip客戶提前辦理業務
所謂優先隊列（priority queue），就是把元素按照一定的優先級儲存起來，而不是根據特定的順序。因此，它與我們之前接觸的基於位置的數據結構有着本質的區別。因爲這裏並沒有所謂的特定位置（類似於數組的下標）這個概念。
假設這裏存在一個優先隊列P,那麼優先隊列P應該有下面三個基本操作：
優先級隊列也有一些較少的的基本函數：
可以看到，優先隊列比我們傳統的隊列簡單多了，因爲我們不用考慮元素的位置問題，也就是說我們不用去實現複雜的insert，add功能。我們要做的只是，enqueue跟dequeue操作。原理如下
二叉堆(binary heap)
那麼怎麼去實現這個優先級隊列呢？可能第一的反應就是使用我們的鏈表吧，一個存儲優先級一個存儲我們的值，但是作爲擴展，我們介紹一個更方便的結構——二叉堆.。
堆，是一種基於樹的結構，它具有以下屬性： 父母的優先權要高於他們的孩子。
而一般的，我們有以下兩種形式的堆：小根堆（左），大根堆（右）
注意：小根堆的根一定是堆中最小的元素，而且他們的父親一定是要小於他們的任一個兒子。大根堆中的根一定是堆中的最大的元素。且他們的父親一定是要大於他們的任一個兒子。如下圖，顯然左邊不是小堆右邊纔是（因爲左邊的12比11大）：
當然，如果我們再仔細觀察，我們可以發現，每一個堆除了最底層，都是充滿的。因此，堆是一種完全二叉樹（complete binary trees）。那麼什麼又是完全二叉樹？我們從它的命名來解釋：
- 完全（complete）：除了最後一層，其他層都是滿的。
- 二叉（binary）：每個父親節點都只有兩個兒子。
下圖是一個堆，也是一個完全二叉樹：
二叉堆的存儲
那麼應該如何來存儲我們的二叉堆。假設我們有下面的這個二叉堆：
我們看到這個，也許我們第一反應是用一個基於節點的方式儲存（因爲這樣確實很像）
我們看到這個，也許我們第一反應是用一個基於節點的方式儲存（因爲確實長得很像！）：
是的，這就是一個很正常也是最容易想到的方式。然而，科學家卻發現使用基於數組的方式能更好的存儲我們的二叉堆。我們把根（root），放在下標爲1的位置（而不是0），這是爲了我們能從數學的角度更好的理解這個原理。 如下圖所示：
爲什麼是這樣存放我們的數組呢？因爲用數組表示二叉堆，使得我們確定父親與孩子之間的問題就變成了簡單的算術問題：
對於每一個位於下標爲 i 的元素來說
- 它的左孩子一定在 2i 的位置
- 右孩子一定在 2i + 1 的位置
- 父親一定在[i / 2]的位置（向上取整）
我們舉例子，上面的元素12，下標爲4，所以它的左孩子的下標就是 2 x 4 = 8.也就是上圖的22元素。它的右孩子同理。它的父親爲 4 / 2 = 2的位置，也就是元素10。
二叉堆的基本操作
回到二叉堆的基本功能上：
現在，我們可以從堆的角度去解決這個問題：
peek（）
只需返回堆中的第一個元素即可。 顯然樹根的位置是固定的，算法複雜度爲O（1）。
return heap[1];
enqueue(k）
在堆中插入元素。在這裏假設我們要在堆中插入一個元素爲9.我們應該要經過下面的一些步驟：
- 我們先把元素插入到舊數組元素的尾部，也就是heap[heap.size() + 1]的位置。
- 執行“冒泡”（bubble up）或“上堆”（up-heap）操作：比較添加的元素與其父親， 如果按正確的順序，停止操作，如果不是，交換並重復步驟2。（這一步實際上就是把插入的元素正確的放入堆中的位置）。
下面，假設在下列的堆中插入一個元素9
首先，們把新元素插入到舊數組的尾部，也就是堆中的空白位置（注意，這不是隨意放入哪個空白的位置，因爲我們完全可以通過下標計算父親是誰，比如9放在數組的尾部，就是位置10，所以他應該在位置爲5的節點下面。並且是左節點），也就是heap[heap.size() + 1]的位置，在這個例子中就是我們的下標10：
然後，根據堆的屬性，我們找到下標爲10的元素的父親位於哪個位置。也就是計算10 / 2 = 5，也就是位於5的元素就是新插入元素的父親，那麼它符不符合小堆的要求？11 > 9 顯然是不符合，所以我們把他們進行交換位置。如下面兩幅圖所示：
這個時候我們再對比5號位置的值與它的父親位置的值，這個時候我們計算 5 / 2 = 2.5,可是這裏並沒有下標爲2.5的元素，我們採取的是向下取整（其實設置爲int型就會自動轉換的），所以下標爲2的元素10，仍然大於9，於是我們再交換，（這一步實際上是上一步的重複）：
重複上述判斷，發現此時位置正確。
對於算法複雜度，我們通常都討論的是最壞情況下的算法複雜度。而插入元素的操作，顯然是個遞歸的過程，（這與我們之前討論的合併排序一樣）。非遞歸操作並不需要循環執行，我們只需要關心交換節點的操作要做多少次。顯然，最差情況下，我們只需要看這顆樹最多可以有多少層即可。所以，算法複雜度爲O（log N）。平均複雜度爲O（1）.
dequeue()
這個操作是要移除堆中的堆頂（也就是樹根），那麼移除之後，需要整個堆都需要重組（因爲移除了堆頂後就破壞了堆的結構，需要找一個新的節點來做這個堆頂）。具體操作如下：
- 當我們刪除根的時候，我們仍然需要保留一個完全樹：於是我們用最後一個元素替換根。
- 使用下堆（down-heap）操作，尋找新符合條件的新的根：將根與它的孩子們進行比較，如果他們的順序正確，操作停止。否則將根與兩個孩子中最小的那個進行交換，然後繼續重複步驟2.
- 要時刻注意該節點是否存在孩子，如果沒有孩子或者只有一個，那麼就不用執行比較操作。那麼如何判斷呢？可以這樣想，如果有該節點有右孩子，那麼它的左孩子也必定存在！！（在實現的時候，可以作爲遞歸的simple case）。
假設我們的初始堆如下：
那麼移除了堆頂後，情況是這樣的：
此時將最後一個元素（此時它的位置當然是在 heap[heap.size()] 處）移動到堆頂處，準備我們的down-heap操作。（注意，移動了堆頂以後，不要忘記了堆的大小是要減一的）
遞歸地將與它的較小的節點進行比較，如果符合要求就交換（這裏指的是13和8）
如果有必要，那麼我們繼續保持交換，直到它再也沒有更多的孩子跟它比較了，我們也就完成工作了！
至此，簡單的二叉堆的基本操作就完成了，但是這有個問題。這些操作都是建立在已有堆的操作上的。但是如果給的是一堆無關的數字呢？顯然我們要學會怎麼建立一個二叉堆！
下次再說，如何建立二叉堆與如何完成堆排序。