關於最小生成樹和最短路徑的幾個有趣問題

1. Q：不連通的樹不含最小生成樹，爲什麼？
   A：這很容易證明，如果含有最小生成樹，圖必定是連通的；反之，如果圖是連通的，總可以利用prim算法或kruskal算法或者破圈法得到最小生成樹；如果圖不連通，prim算法和kruskal算法也會固執地給出起點所在連通分支的最小生成樹。

2. Q：將Dijkstra算法求得的起點到其餘點的路徑及路徑上的點拼成一個新的圖，該圖是不是樹？
   A：是。利用反證法，得到的圖一定是連通圖，假設不是樹，則肯定存在迴路，並且起點在這條迴路上，對於該回路上其餘點來說，就找到了兩條從起點到該點的最短路徑，但是Dijkstra算法至多能找出一條，矛盾。所以假設錯誤，得到的連通圖是樹。

3. Q：那這個樹是不是最小生成樹？
   A：很有可能不是。拿Dijkstra算法和prim算法進行比較，雖然兩者很相似——都是通過添加頂點來實現的，但是添加頂點的條件不同，Dijkstra算法是找未加入點中距離起點的已知最小距離最小的那個點，而prim算法找的是未加入節點中距離已加入節點的距離最小的那個點，所以，得到的結果很有可能不一樣。

4. Q：同樣是利用鄰接矩陣求任意兩點間的最短路徑，調用N(頂點個數)次Dijkstra算法和一次Floyd算法時間複雜度是否相同？實際執行效率是否相同?

   A：時間複雜度是一樣的，都是$O(N^3)$，但是一次Floyd算法的執行效率更高；原因應該是這樣的：Floyd算法是在原有的鄰接矩陣的基礎上進行了 N 次優化，且每次優化都利用到了前面優化的結果，有效地利用了最新數據；而調用 N 次Dijkstra算法，沒有考慮這 N 次之間的聯繫，所以會有一部分的重複工作，舉個例子，假設已經求得 v1 到 v3 的最短路徑和 v2 到 v1 的最短路徑，現在求 v2 到 v3 的最短路徑，如果已知 v1 是該最短路徑上的點，那麼直接將前面得到的兩個最短路徑拼接起來即可，無需假裝不知道傻傻地求出來；總的來說，Dijkstra算法調用 N 次，每次調用都沒用到前面的調用結果，故有一定的重複操作，而Floyd算法的每次更新都是基於最新的更新結果，所以後者的效率更高。