幾道有趣題目

1. 求矩陣特徵值

(提示：注意觀察矩陣的特點)
$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \quad\quad \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 4 & 4 \\ 3 & 3 & 4 & 4 \end{pmatrix} \\$
解：

(1) 第一個矩陣是循環矩陣，介紹鏈接：Circulant Matrix

第一種做法是直接套用其特徵值的公式，結果爲
$\lambda_1=3, \lambda_2=\lambda_3=\lambda_4=-1$
第二種做法是對其進行相似變換，變換矩陣爲
$F=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}I & I \\ I & -I \end{pmatrix} = F^{-1}$

變換結果爲
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

再對左上角的矩陣進行一次變換
$\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

所以矩陣的特徵值爲 $\lambda_1=3, \lambda_2=\lambda_3=\lambda_4=-1$.

(2) 第二個矩陣爲兩個矩陣的 Kronecker Product：
$A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\3 & 4\end{pmatrix}\quad B=\begin{pmatrix}1 & 1 \\1 & 1\end{pmatrix}$

$C=A\otimes B$

可以證明，$\small C$ 的特徵值即爲 $\small A,B$ 特徵值的乘積，

$\small A$ 的特徵值：
$\lambda_1=\frac{5+\sqrt{33}}{2},\lambda_2=\frac{5-\sqrt{33}}{2}$

$\small B$ 的特徵值：
$\mu_1=0,\mu_2=1$

所以 $\small C$ 的特徵值爲：
$0,0,\frac{5+\sqrt{33}}{2},\frac{5-\sqrt{33}}{2}$

2. 判斷級數收斂性

已知 $\small F_0=1,F_1=1,F_k=F_{k-1}+F_{k-2},k=2,3,\cdots$，問
$\sum_{k=1}^{\infin}\frac{1}{F_k}$

是否收斂？爲什麼？

答： 利用比式判別法易證收斂。

3. 局部極小否？

已知函數 $f$ 在 $\small (0,0)$ 處連續可微，$\forall$ 單位向量 $\small (d_1,d_2)$，定義 $\small \phi(t)=f(td_1,td_2)$，$t=0$ 都是 $\phi$ 的局部極小值點。問 $\small (0,0)$ 是不是 $f$ 的局部極小值點？

可以這樣分析，雖然在每個方向上都是局部極限值點，但它沒有對"局部"進行刻畫，這裏的局部到底是多大？這樣一想，就知道 $\small (0,0)$ 不是 $f$ 的局部極小值點了。但是，怎麼構造呢？這個我沒有想出來，後來請教的 cxz 學弟，他構造出來了。
$f(x,y)=\begin{cases}-x^2,\,\,y=x^2 \\\,\,\,\,\,\,0\,\,,\,\,\textrm{else} \end{cases}$

4. 來道概率題

已知有 $n$ 段小繩，將其端點集中在一起，每次選兩個端點接在一起，直至全部接完。最終會形成若干個環，數目從 $1$ 到 $n$ 不等。求環的數目的期望值。
(提示：利用遞推關係)
$\\$
解：

設有 $n$ 段繩時，環數目的期望爲 $a_n$。

易知，$a_{1}=1$。

考慮 $a_{n+1}$，考慮其中的任意一段小繩的一個端點，有兩種情況

• 與同段小繩的另一端點結合，概率爲 $\displaystyle \frac{1}{2n+1}$
• 與其他繩的某一端點結合，成爲"新繩" ，概率爲 $\displaystyle \frac{2n}{2n+1}$

所以有

$\begin{aligned} a_{n+1}&=\frac{1}{2n+1}(1+a_n)+\frac{2n}{2n+1}a_n \\& =\frac{1}{2n+1}+a_n\\ \\ a_n&=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2k+1} \end{aligned}$