Eigenvalues of Circulant Matrix

本文將介紹循環矩陣(Circulant Matrix)特徵值的兩種求法。

1. 相似變換

首先，階數爲 $2^n$ 的循環矩陣，可以表示爲如下形式：
$\begin{pmatrix}T & S \\ S & T \end{pmatrix}$

對其進行相似變換，變換矩陣爲
$F=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}I & I \\ I & -I \end{pmatrix} = F^{-1}$

結果爲
$\begin{pmatrix} T+S & 0 \\ 0 & T-S \end{pmatrix}$

之後遞歸地對 $\small T+S$ 和 $\small T-S$ 進行相同變換，求其特徵值。

變換至最後，矩陣變爲對角陣，對角線元素即爲特徵值。

例子：
$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

第一次變換
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

對左上角再做一次變換
$\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

所以矩陣的特徵值爲 $\lambda_1=3, \lambda_2=\lambda_3=\lambda_4=-1$.

2. 定義求解

一般的思路，設 $\small C$ 是一個 $n$ 階循環矩陣，即
$C= \begin{pmatrix} c_0 & c_1 & c_2 & \cdots & c_{n-2} & c_{n-1}\\ c_{n-1} & c_0 & c_1 & \cdots & c_{n-3} & c_{n-2}\\ c_{n-2} & c_{n-1} & c_0 & \cdots & c_{n-4} & c_{n-3}\\ \vdots & \vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots\\ c_1 & c_2 & c_3 & \cdots & c_{n-1} & c_{0} \end{pmatrix}$

$C(k,j)=c_{(j-k)\,mod\,n}$

設 $\lambda$ 是 $\small C$ 的一特徵值，$y$ 是對應的特徵向量，則
$Cy=\lambda y$

按分量展開，得
$\sum_{k=1}^{m-1}c_{n-m+k}y_k+\sum_{k=m}^nc_{k-m}y_k=\lambda y_m, m=1,2,\cdots,n$

變換下標
$\sum_{k=n-m+1}^{n-1}c_ky_{k-n+m}+\sum_{k=0}^{n-m}c_ky_{k+m}=\lambda y_m$

我們這樣猜測：$y_k=\rho^{k}$，則原式爲
$\rho^{m-n} \sum_{k=n-m+1}^{n-1}c_k\rho^{k}+\rho^m\sum_{k=0}^{n-m}c_k\rho^{k}=\lambda \rho^m$

約去 $\rho^m$，得
$\rho^{-n}\sum_{k=n-m+1}^{n-1}c_k\rho^{k}+\sum_{k=0}^{n-m}c_k\rho^{k}=\lambda$

若取 $\rho^n=1$，則
$\lambda = \sum_{k=n-m+1}^{n-1}c_k\rho^{k}+\sum_{k=0}^{n-m}c_k\rho^{k}=\sum_{k=0}^{n-1}c_k\rho^{k}$

因爲 $\rho^n=1$，取其中的一個根，$\rho_j=e^{i2j\pi/n}$，則
$\lambda_j = \sum_{k=0}^{n-1}c_k\rho_j^{k}=\sum_{k=0}^{n-1}c_ke^{\frac{i2j\pi}{n}k},\,\,j=1,2,\cdots,n$

對於上一部分中的例子
$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

利用公式求特徵值：
$\begin{aligned} \lambda_j &=\sum_{k=0}^{3}c_ke^{\frac{i2j\pi}{4}k}=\sum_{k=1}^{3}e^{\frac{ij\pi}{2}k}, \,\,j=1,2,\cdots,n \\ \lambda_1&=\sum_{k=1}^{3}e^{\frac{i\pi}{2}k}=e^{\frac{i\pi}{2}}+e^{i\pi}+e^{\frac{i\pi}{2}3}=-1+e^{\frac{i\pi}{2}}+e^{-\frac{i\pi}{2}}=-1 \\ \lambda_2&=\sum_{k=1}^{3}e^{i\pi k}=e^{i\pi}+e^{i2\pi}+e^{i3\pi}=-1 \\ \lambda_3&=\sum_{k=1}^{3}e^{\frac{i3\pi}{2}k}=e^{\frac{i3\pi}{2}}+e^{i3\pi}+e^{\frac{i9\pi}{2}}=-1 \\ \lambda_4&=\sum_{k=1}^{3}e^{i2\pi k}=e^{i2\pi}+e^{i4\pi}+e^{i6\pi}=3 \end{aligned}$

參考文獻

 [1]. https://en.wikipedia.org/wiki/Circulant_matrix
 [2]. http://www-ee.stanford.edu/~gray/toeplitz.pdf