关于最小生成树和最短路径的几个有趣问题

1. Q：不连通的树不含最小生成树，为什么？
   A：这很容易证明，如果含有最小生成树，图必定是连通的；反之，如果图是连通的，总可以利用prim算法或kruskal算法或者破圈法得到最小生成树；如果图不连通，prim算法和kruskal算法也会固执地给出起点所在连通分支的最小生成树。

2. Q：将Dijkstra算法求得的起点到其余点的路径及路径上的点拼成一个新的图，该图是不是树？
   A：是。利用反证法，得到的图一定是连通图，假设不是树，则肯定存在回路，并且起点在这条回路上，对于该回路上其余点来说，就找到了两条从起点到该点的最短路径，但是Dijkstra算法至多能找出一条，矛盾。所以假设错误，得到的连通图是树。

3. Q：那这个树是不是最小生成树？
   A：很有可能不是。拿Dijkstra算法和prim算法进行比较，虽然两者很相似——都是通过添加顶点来实现的，但是添加顶点的条件不同，Dijkstra算法是找未加入点中距离起点的已知最小距离最小的那个点，而prim算法找的是未加入节点中距离已加入节点的距离最小的那个点，所以，得到的结果很有可能不一样。

4. Q：同样是利用邻接矩阵求任意两点间的最短路径，调用N(顶点个数)次Dijkstra算法和一次Floyd算法时间复杂度是否相同？实际执行效率是否相同?

   A：时间复杂度是一样的，都是$O(N^3)$，但是一次Floyd算法的执行效率更高；原因应该是这样的：Floyd算法是在原有的邻接矩阵的基础上进行了 N 次优化，且每次优化都利用到了前面优化的结果，有效地利用了最新数据；而调用 N 次Dijkstra算法，没有考虑这 N 次之间的联系，所以会有一部分的重复工作，举个例子，假设已经求得 v1 到 v3 的最短路径和 v2 到 v1 的最短路径，现在求 v2 到 v3 的最短路径，如果已知 v1 是该最短路径上的点，那么直接将前面得到的两个最短路径拼接起来即可，无需假装不知道傻傻地求出来；总的来说，Dijkstra算法调用 N 次，每次调用都没用到前面的调用结果，故有一定的重复操作，而Floyd算法的每次更新都是基于最新的更新结果，所以后者的效率更高。