特徵值和特徵向量一直是我最疑惑的一個地方，雖然知道如何計算，但是一直不懂他所代表的意義，今天就來揭開他神祕的面紗！
特徵值和特徵向量
我們先來看一個線性變換的矩陣，並且考慮他所張成的空間，也就是過原點和向量尖端的直線：
在這個變換中，絕大部分的向量都已經離開了它們張成的空間，但是某些特殊向量的確留在它們張成的空間裏，意味着矩陣對他的作用只是拉伸或者壓縮而已，如同一個標量。
如果一個向量留在它們張成的空間裏，例如下面的 兩個向量，就是它們的特徵向量，而被拉伸或者壓縮的倍數就是特徵值。
那麼特徵值和特徵向量有什麼用呢？
例如我們考慮一個 3-D 空間的旋轉，如果能夠找到這個旋轉的特徵向量，它們所在的直線就是旋轉軸（在這種情況下，特徵值必須爲1 ，因爲不改變長度）。
特徵向量的計算方法：
而這個等式的目的在於尋找一個 lambda，把它當作一個線性變換，也就是將調整變換後的空間壓縮到一個更低的維度上。
當然一個線性變換也可能沒有特徵向量，例如一個90度的旋轉，所有的向量都已經改變了，但是如果我們求解上面的方程，會得到兩個複數解，沒有實數解，就代表沒有特徵向量。
而且屬於單個特徵值可能有多個特徵向量，例如下面這個矩陣：
除了對角元以外的其他元素都爲 0 的矩陣被稱爲對角矩陣。
對於對角矩陣，它們對角線上的值就是特徵值，它們列向量就是特徵向量了。
同時，對角矩陣對於矩陣的多次計算非常有用，例如在矩陣多次與自己相乘的結果上更容易計算：
同時，特徵基（能夠張成全空間的一組特徵向量對應的特徵值）也會在運算中起到非常大的作用。
