最小生成樹-Kruskal算法-python

圖的基本概念：

1. 圖：圖由頂點集V和邊集E組成，表示爲G=(V,E)；
2. 邊權：邊e具有權重，（結合不同環境具體可以理解爲兩點的距離、相似度）
3. 樹：任意兩點都有路徑相連，但是沒有迴路
4. 最小生成樹（MST:minimum spanning tree）：邊權之和最小的樹，n個頂點產生(n-1)個邊

Kruskal算法原理：

1. 將邊按權重從小到大進行排序；
2. 將每個頂點獨立視爲根節點，產生n個樹；
3. 依次選取每條邊，如果邊的兩個頂點不屬於同一個樹，則將其合併，如果屬於同一個樹（意味着會形成迴路），則將其捨棄，考慮下一條邊，最後形成(n-1)條邊

Kruskal算法解析

圖1由頂點集{‘A’，‘B’，‘C’，‘D’，‘E’，‘F’，‘G’}和一系列帶有權重的邊組成（本質上n個頂點兩兩相連可以形成n(n-1)/2條邊，圖中省略部分邊及邊權）

圖1

將7個頂點視爲7個樹的根節點。首先選取權重最小的邊e(BF)，其頂點爲B、F，兩點不屬於同一棵樹，故合併。

圖2

然後選取權重爲3的邊e(CD),兩點也不屬於同一棵樹，故合併。

圖3

重複上述步驟，依此得到：

圖4

圖5

 

圖6

 

當選取到權重爲6的邊e(EF)時，發現頂點E,F同屬於一棵樹，故舍棄，最後最小生成樹有兩種情況，如圖7，圖8

圖7

圖8

實操

1.定義頂點

vertices=list('ABCDEFG')

2.定義邊並按邊權進行排序

edges = [("A", "B", 5), ("A", "G", 7),
         ("B", "F", 1), ("C", "F", 4),
         ("C", "D", 3), ("C", "E", 7),
         ("E", "F", 6), ("D", "E", 4),
         ("E", "G", 12),("F", "G", 12)]
edges.sort(key=lambda x:x[2])
print(edges)

輸出如下：

3.將每個頂點視爲一棵節點樹，可以用字典表示，鍵表示頂點，鍵值表示頂點所在樹的節點

ori_trees=dict()
for i in vertices:
    ori_trees[i]=i
print(ori_trees)

輸出爲：

4.根據邊的兩個頂點的根節點是否相同考慮是否合併

#尋找根節點
def find_node(x):
    if ori_trees[x]!=x:
        ori_trees[x]=find_node(ori_trees[x])
    return ori_trees[x]
#定義最小生成樹
mst=[]
#定義循環次數，n爲需要添加的邊數=頂點數-1
n=len(vertices)-1
#循環
for edge in edges:
    v1,v2,_=edge
    if find_node(v1)!=find_node(v2):
        ori_trees[find_node(v2)]=find_node(v1)
        mst.append(edge)
        print('添加第'+str(7-n)+'條邊後：')
        n-=1
        print(ori_trees)
        print(mst)
        if n==0:
            break

輸出結果如下：

完整代碼如下：

 

edges = [("A", "B", 5), ("A", "G", 7),
         ("B", "F", 1), ("C", "F", 4),
         ("C", "D", 3), ("C", "E", 7),
         ("E", "F", 6), ("D", "E", 4),
         ("E", "G", 12),("F", "G", 12)]
vertices=list('ABCDEFG')
edges.sort(key=lambda x:x[2])
ori_trees=dict()
for i in vertices:
    ori_trees[i]=i
#尋找根節點
def find_node(x):
    if ori_trees[x]!=x:
        ori_trees[x]=find_node(ori_trees[x])
    return ori_trees[x]
#定義最小生成樹
mst=[]
#定義循環次數，n爲需要添加的邊數=頂點數-1
n=len(vertices)-1
#循環
for edge in edges:
    v1,v2,_=edge
    if find_node(v1)!=find_node(v2):
        ori_trees[find_node(v2)]=find_node(v1)
        mst.append(edge)
        print('添加第'+str(7-n)+'條邊後：')
        n-=1
        print(ori_trees)
        print(mst)
        if n==0:
            break