多項式乘法優化 學習筆記

今早重新看了myy的論文，又掌握了一些多項式乘法的新姿勢，於是寫一篇blog鞏固一下QAQ。

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①如何用一次DFT加一次IDFT求出兩個實序列A和B的卷積？

這裏我們只要求卷積後的結果，不需要求DFT的值，所以有一種很簡便的方法：令複數序列C的實部爲A，虛部爲B。將其自卷，所得結果虛部的值除以2就是要求的多項式。

這個十分容易證明：

C2[k]=∑j=0kC[j]C[k−j]$$C^2[k]=\sum _{j=0}^{k}C[j]C[k-j]$$

=∑j=0k(A[j]+i∗B[j])(A[k−j]+i∗B[k−j])$$=\sum _{j=0}^k(A[j]+i\ast B[j])(A[k-j]+i\ast B[k-j])$$

=∑j=0k(A[j]A[k−j]−B[j]B[k−j])+i∗∑j=0k(A[j]B[k−j]+B[j]A[k−j])$$=\sum _{j=0}^k(A[j]A[k-j]-B[j]B[k-j])+i\ast \sum _{j=0}^k(A[j]B[k-j]+B[j]A[k-j])$$

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②如何用一次DFT同時求出兩個實序列在單位複數根處的點值？

這個推導就很複雜了，大概就是一堆三角函數和i$i$ 換來換去，具體要看myy的論文，我也不再贅述。最終概括一下做法，就是設：

P(x)=A(x)+i∗B(x)$$P(x)=A(x)+i\ast B(x)$$

Q(x)=A(x)−i∗B(x)$$Q(x)=A(x)-i\ast B(x)$$

令P(x),Q(x)$P(x),Q(x)$ 在單位複數根處的點值表達分別爲FP,FQ$F_P,F_Q$ ，則可以證明FP(k)$F_P(k)$ 與FQ(N−k)$F_Q(N-k)$ 互爲共軛複數。因此只需要對P(x)$P(x)$ 進行DFT即可。然後會有：

DFTA=FP+FQ2$$DF{T}_A=\frac{F_P+F_Q}{2}$$

DFTB=FP−FQ2i$$DF{T}_B=\frac{F_P-F_Q}{2i}$$

（myy論文裏第二條式子寫的是乘以i$i$ ，不過我覺得是除以i$i$ 纔對）

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③關於單位複數根ωkN${\omega }_N^k$ ：

這個有三種算法。一種是累乘，時間快但精度不高。還有一種是直接每次用2πkN$\frac{2\pi k}{N}$ 的三角函數去算，這樣比較慢，但精度高。最後一種是預處理，然後用vector之類的存下來。第三種方法比較折中，在拆係數+FFT處理任意模數多項式卷積的時候經常用。

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貼一份模板題（洛谷P3803）的CODE：
因爲只用了兩次DFT，所以完全不怕卡常

#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;

const int maxn=4000000;
const double pi=acos(-1.0);

struct Complex
{
    double X,Y;
    Complex (double a=0.0,double b=0.0) : X(a),Y(b) {}
} ;

Complex operator+(Complex a,Complex b){return Complex(a.X+b.X,a.Y+b.Y);}
Complex operator-(Complex a,Complex b){return Complex(a.X-b.X,a.Y-b.Y);}
Complex operator*(Complex a,Complex b){return Complex(a.X*b.X-a.Y*b.Y,a.X*b.Y+a.Y*b.X);}

Complex A[maxn];
Complex B[maxn];

vector <Complex> w[maxn];
int Rev[maxn];
int N,Lg;

int F[maxn];
int G[maxn];
int n,m;

void DFT(Complex *a,double f)
{
    for (int i=0; i<N; i++)
        if (i<Rev[i]) swap(a[i],a[ Rev[i] ]);

    for (int len=2; len<=N; len<<=1)
    {
        int mid=(len>>1);
        for (Complex *p=a; p!=a+N; p+=len)
            for (int i=0; i<mid; i++)
            {
                Complex temp=w[mid][i];
                if (f==-1.0) temp.Y=-temp.Y;
                temp=temp*p[mid+i];
                p[mid+i]=p[i]-temp;
                p[i]=p[i]+temp;
            }
    }
}

void FFT()
{
    N=1,Lg=0;
    while (N<n+m+4) N<<=1,Lg++;
    for (int i=0; i<N; i++)
        for (int j=0; j<Lg; j++)
            if (i&(1<<j)) Rev[i]|=(1<<(Lg-j-1));

    int len=1;
    while ((len<<1)<=N)
    {
        double ang=pi/len;
        for (int i=0; i<len; i++)
            w[len].push_back( Complex( cos(ang*(double)i) , sin(ang*(double)i) ) );
        len<<=1;
    }

    for (int i=0; i<N; i++) A[i]=Complex((double)F[i],(double)G[i]);
    DFT(A,1.0);
    for (int i=0; i<N; i++) B[i]=A[(N-i)%N],B[i].Y=-B[i].Y;
    for (int i=0; i<N; i++)
    {
        Complex a=A[i]+B[i];
        a.X/=2.0;
        a.Y/=2.0;
        B[i]=A[i]-B[i];
        B[i].X/=2.0;
        B[i].Y/=2.0;
        swap(B[i].X,B[i].Y);
        B[i].Y=-B[i].Y;
        A[i]=a;
    }
    for (int i=0; i<N; i++) A[i]=A[i]*B[i];
    DFT(A,-1.0);
    for (int i=0; i<N; i++) A[i].X/=((double)N);
    for (int i=0; i<N; i++) F[i]=(int)floor( A[i].X+0.5 );
}

int main()
{
    freopen("3803.in","r",stdin);
    freopen("3803.out","w",stdout);

    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=0; i<=n; i++) scanf("%d",&F[i]);
    for (int i=0; i<=m; i++) scanf("%d",&G[i]);

    FFT();
    for (int i=0; i<=n+m; i++) printf("%d ",F[i]);
    printf("\n");

    return 0;
}