【算法基礎】遞歸算法時間複雜度你真的懂嗎？master公式的使用。

~Ooops:本片博客爲觀看嚴蔚敏第二版的數據結構書籍所做的總結性筆記,

有錯誤請望指出？

master公式是分析分治法遞歸的時間複雜度問題：

公式主體

公式的主體是：

T(N) = a*T(N/b) + O(N^d)
1) log(b,a) > d ->複雜度爲O（N^log(b,a)）
2) log(b,a) = d ->複雜度爲O（N^d*logN）
3) log(b,a) < d ->複雜度爲O（N^d）

變量解釋：
a：迭代子算法個數
b：子算法所負責多少數據
d：除去子過程剩下的時間複雜度的指數

例子

假設求出最大值的遞歸算法如下：

 public static int getMax(int[] arr, int left, int right) {

        if (left == right) {
            return arr[left];
        }

        int mid = (left + right) / 2;
        int leftMax = getMax(arr, left, mid);
        int rightMax = getMax(arr, mid+1, right);
        return Math.max(leftMax, rightMax);
    }

分析代碼

易知代碼在一次遞歸過程中是將此次的問題分解爲如下：

				
			[		leftMax		] 					[		rightMax 		] 
					左邊最大值								右邊最大值
								return Max(leftMax , rightMax )

遞歸是將原來的一個問題，劃分成不同複雜度的子問題 ， 所以 ，複雜度就是 子問題複雜度的 n 倍， 加上他們之間和並的複雜度 。

套用公式分析

以上所指， 套用公式 ，知 a 代表 迭代子算法個數 , 知 求最大值 ，問題被分成左右兩個部分， 分別求出最大值 。所以 ，所以a = 2。

而b表示子算法所負責多少數據，知，left只負責N/2，right也只負責N/2的數據，所以b = 2；

除去迭代算法，時間複雜度就是O（1）,也就是N的0次方，所以d = 0；
所以 ，套用公式爲：

T(N) = 2*T(n/2) + O(n^0)

按照master公式分析複雜度的方法知 ， 符合上述master公式的第一個分支 ，也就是求出的時間複雜度爲O（N^log(b,a)）.
所以 ，求出此次分治法遞歸的時間複雜度爲：O（N^log(2,2)）= O（N）