證明異面直線的幾種方法
範文哲
異面直線在立體幾何中佔有重要地位，很多同學在證明兩條直線是異面直線時往往只證不共面的一面，或只證無公共點的一面，這樣的證明是不全面的，必須根據異面直線的定義，證明這兩條直線無公共點，同時不在任何一個平面內，這樣纔算完整。在這裏講幾種常用的方法，供同學們學習。
一. “判定定理”法
判定定理：過平面外一點與平面內一點的直線，和平面內不經過該點的直線是異面直線。
例1.
如圖1，空間四邊形ABCD，
，AE是
的邊BC上的高，DF是
的邊BC上的中線，求證：AE和DF是異面直線。
圖1
證明：由題設條件可知點E、F不重合，設所在的平面爲
。因爲
，所以AE和DF是異面直線。
二. 反證法
例2.
已知a//b//c，且a，b，c不在同一平面內，A、B
，求證：AD與BC是異面直線。
證明：因爲a//b，所以a，b確定平面。又A，B
a，Cb，所以A、B、C不共線，且A，B，Cα。假設AD與BC共面，則
，而
，c//a，
，從而
，此與a，b，c不在同一平面內矛盾，故AD與BC是異面直線。
三. 排除法
例3.
如圖2，已知
，求證：a，b是異面直線。
圖2
證明：（1）因爲
，所以b與只有一個公共點。
而
，
故a與b無公共點。
（2）
上只有一個點在平面內，其他點都在平面
內，不在內，
上的點都在平面內，又
故a，b不在同一平面內。
綜合（1）（2）可知，a，b是異面直線。
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年級 |
高中 |
學科 |
數學 |
版本 |
期數 |
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內容標題 |
證明異面直線的幾種方法 |
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分類索引號 |
G.622.46 |
分類索引描述 |
輔導與自學 |
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主題詞 |
證明異面直線的幾種方法 |
欄目名稱 |
學法指導 |
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供稿老師 |
審稿老師 |
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錄入 |
韓素果 |
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