【每日算法Day 83】邻居小孩一年级就会的乘法表，你会吗？

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LeetCode 668. 乘法表中第k小的数[1]

题目描述

几乎每一个人都用乘法表。但是你能在乘法表中快速找到第 小的数字吗？

给定高度 、宽度 的一张 的乘法表，以及正整数 ，你需要返回表中第 小的数字。

示例1

        输入：
m = 3, n = 3, k = 5
输出：
3
解释：
乘法表:
1	2	3
2	4	6
3	6	9
第5小的数字是 3 (1, 2, 2, 3, 3).

      

示例2

        输入：
m = 2, n = 3, k = 6
输出：
6
解释：
乘法表:
1	2	3
2	4	6
第6小的数字是 6 (1, 2, 2, 3, 4, 6).

      

说明：

• 和 的范围在 之间。
• 的范围在 之间。

题解

二分法

因为 数量级是 级别的，所以显然不能直接枚举，要想一个对数级别的算法。

对数级别首先想到的肯定是二分了，我们二分第 小的数 ，然后求出乘法表中小于等于 的数的数量 。如果发现 ，那就说明这个答案太大了，还可以继续缩小。否则的话答案太小了，得增大一点。

那么对于枚举的答案 来说，如何找到乘法表中有多少小于等于它的数呢？我们可以直接从 开始枚举，和 相乘并且结果小于等于 的数有 个，当然还有个 的限制，所以是 个。然后和 相乘并且结果小于等于 的数有 个。依此类推下去，最终和 相乘并且结果小于等于 的数有 个。

所以最终小于等于 的个数 就可以计算为：

二分法+优化

当然这题计算还可以进行一些优化。

首先第 小的数是一定小于等于 的，所以我们的二分上界可以定为 。

其次注意到当 之后，个数一定是 ，所以 只需要枚举到 就行了。

然后当 时，有 ，所以这部分的求和结果就是 。所以 又可以写为：

最后，对于某个 ，我们会发现如果 慢慢增大，某一段连续区间内 的值都是不会变的。而 最大可以增大到 ，那么这一段区间内的求和就可以直接算出来：

接着令 直接跳转到 就可以了，这样就不用慢慢加 计算了。要特别注意的是最后不能超过 。

理论上这样的计算复杂度是更低的，但是实际运行中速度还不如不加最后一步优化，可能原因是除法操作次数太多了，反而总的操作次数超过了直接遍历计算。

代码

二分法（c++）

        class Solution {
public:
    int findKthNumber(int m, int n, int k) {
        int l = 1, r = m*n;
        while (l < r) {
            int mid = l+((r-l)>>1);
            if (enough(mid, m, n, k)) r = mid;
            else l = mid+1;
        }
        return l;
    }

    bool enough(int x, int m, int n, int k) {
        int cnt = 0;
        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            cnt += x/i<n?x/i:n;
        }
        return cnt >= k;
    }
};

      

二分法+优化（c++）

        class Solution {
public:
    int findKthNumber(int m, int n, int k) {
        int l = 1, r = k;
        while (l < r) {
            int mid = l+((r-l)>>1);
            if (enough(mid, m<mid?m:mid, n<mid?n:mid, k)) r = mid;
            else l = mid+1;
        }
        return l;
    }

    bool enough(int x, int m, int n, int k) {
        int cnt = n*(x/n), d = 0;
        for (int i = (x/n)+1; i <= m; i = d+1) {
            d = x/(x/i);
            cnt += (x/i)*((d<m?d:m)-i+1);
        }
        return cnt >= k;
    }
};

      

二分法（python）

        class Solution:
    def findKthNumber(self, m: int, n: int, k: int) -> int:
        def enough(x, m, n, k):
            cnt = 0
            for i in range(1, m+1):
                cnt += x//i if x//i<n else n
            return cnt >= k

        l, r = 1, m*n
        while l < r:
            mid = l+((r-l)>>1)
            if enough(mid, m, n, k): r = mid
            else: l = mid+1
        return l

      

二分法+优化（python）

        class Solution:
    def findKthNumber(self, m: int, n: int, k: int) -> int:
        def enough(x, m, n, k):
            cnt, i, d = n*(x//n), x//n+1, 0
            while i <= m:
                d = x//(x//i)
                cnt += (x//i)*((d if d<m else m)-i+1)
                i = d+1
            return cnt >= k

        l, r = 1, k
        while l < r:
            mid = l+((r-l)>>1)
            if enough(mid, m if m<mid else mid, n if n<mid else mid, k): r = mid
            else: l = mid+1
        return l

      

参考资料

[1]

LeetCode 668. 乘法表中第k小的数: https://leetcode-cn.com/problems/kth-smallest-number-in-multiplication-table/