【每日算法Day 85】圖解算法：一行代碼解決約瑟夫環的變體

題目鏈接

LeetCode 390. 消除遊戲[1]

題目描述

給定一個從 到 排序的整數列表。 首先，從左到右，從第一個數字開始，每隔一個數字進行刪除，直到列表的末尾。 第二步，在剩下的數字中，從右到左，從倒數第一個數字開始，每隔一個數字進行刪除，直到列表開頭。 我們不斷重複這兩步，從左到右和從右到左交替進行，直到只剩下一個數字。 返回長度爲 的列表中，最後剩下的數字。

示例1

        輸入：
n = 9,
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 6 8
2 6
6
輸出:
6

      

題解

還記得幾天前講過的約瑟夫環問題嗎？不記得了就回顧一下吧：

韋陽的博客：【每日算法Day 74】經典面試題：約瑟夫環，我敢打賭你一定不會最後一種方法！[2]

知乎專欄：【每日算法Day 74】經典面試題：約瑟夫環，我敢打賭你一定不會最後一種方法！[3]

當時我們的方法是通過編號映射來遞歸尋找下一輪存活的人的，那麼這題也可以嘗試用同樣的方法。

我們分奇偶兩種情況來考慮。

如果 ，那麼如上圖所示，第一輪消除完了之後，剩下的數字就是綠色的偶數部分。

接着就要從右往左遞歸地消除了，那我們從右往左給綠色數字重新編號爲 到 ，問題就轉化爲了 個數字的情況下，最後剩餘的數字是幾了。

假設我們用 表示初始時 個數字最後剩下的編號，那麼綠色部分重新編號後最後剩下的數字就是 。但是怎麼將 重新映射回綠色的數字編號呢？

通過觀察我們可以發現，綠色數字整除 ，再加上藍色的映射後的編號，結果一定等於 。所以我們就得到了映射回去的公式：

比如說你求出來 ，也就是藍色部分最後剩下的數字是 ，那麼映射成綠色的編號就是 ，這就是最初的編號了。

如果 ，那麼如上圖所示，只需要在後面加個橙色的 就行了。

但是第一輪的時候它就被消除了，所以綠色的剩下的編號和之前偶數情況沒有任何區別。所以最終的答案也是：

最後發現奇偶情況下，公式其實可以統一起來，用 來替換 就得到了：

代碼

c++

        class Solution {
public:
    int lastRemaining(int n) {
        return n==1 ? 1 : 2*(n/2+1-lastRemaining(n/2));
    }
};

      

python

        class Solution:
    def lastRemaining(self, n: int) -> int:
        return 1 if n==1 else 2*(n//2+1-self.lastRemaining(n//2))
      

參考資料

[1]

LeetCode 390. 消除遊戲: https://leetcode-cn.com/problems/elimination-game/

[2]

韋陽的博客：【每日算法Day 74】經典面試題：約瑟夫環，我敢打賭你一定不會最後一種方法！: https://godweiyang.com/2020/03/19/leetcode-interview-62/

[3]

知乎專欄：【每日算法Day 74】經典面試題：約瑟夫環，我敢打賭你一定不會最後一種方法！: https://zhuanlan.zhihu.com/p/114391147