Python快速求組合數C(n,m)三種方法整理

百度百科對於組合數的定義是：從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素併成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合；從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數。
由於經常遇到一些組合數問題，所以整理一些常見的快速求組合數的方法，附上Python的實現代碼。

一、m,n不是特別大的時候：

$\binom {n}{m}=\frac {n!}{m!*(n-m)!}$
可以直接調用math.factorial求得階乘，然後算出組合數，如下：

import math
n,m = map(int,input().split())
print(math.factorial(n)//(math.factorial(m)*math.factorial(n-m)))

輸入：

5 3

輸出：

10

二、用定義式遞歸：

$\binom {n}{m}=\binom {n-1}{m-1}+\binom {n-1}{m}$
遞歸出口就在於當n=m或者m=1的時候。

n,m = map(int,input().split())
def rec(n,m):
    if m == n:
        return 1
    elif m == 1:
        return n
    else:
        return rec(n-1,m-1)+rec(n-1,m)
    
print(rec(n,m))

輸入：

10 3

輸出：

120

三、逆元+快速冪思想參考大佬

前面的兩種方法，在n,m數字很大的時候，運行時間會很長。在介紹第三個方法之前，先來介紹幾個概念，不當之處，歡迎指點。

（1）、同餘定理

百度百科：同餘定理數論中的重要概念。給定一個正整數m，如果兩個整數a和b滿足a-b能夠被m整除，即(a-b)/m得到一個整數，那麼就稱整數a與b對模m同餘，記作a≡b(mod m)。對模m同餘是整數的一個等價關係。

5 ≡ 3(mod 2) #5和 3對模2同餘

（2）、模的加減乘除運算

取模運算的等價變形適合加法、減法、乘法
$(a + b) \% p = (a \% p + b \% p) \% p$
$(a - b)\% p = (a\% p - b\% p) \% p$
$( a * b) \% p = (a \% p * b \% p) \% p$

但是，取模運算的等價變形不符合除法
$a/b \% p ≠ (a\%p / b\%p) \% p$

比如：
$（100 \% 20）\% 11 = 5 \% 11 = 5$
$（100\%11 / 20\%11) \% 11 = (1 / 9) \% 11 = 0 \% 11 = 0$

（3）、逆元

逆元：對於a和p，若a和p互素且
$(a * b) \% p ≡ 1$
則稱b爲a%p的逆元。

假設c爲b%p的逆元，即$b*c\%p=1$

$(a / b) \% p$
$= (a / b) * 1 \% p$
$=(a/b)*(b*c\%p)\%p$
$=a*c\%p$
$=(a\%p)*(c\%p)\%p$

這樣就把求$(a / b) \% p$轉化成一個$(a\%p)*(c\%p)\%p$乘法問題。

（4）、費馬小定理

百度百科：費馬小定理(Fermat’s little theorem)是數論中的一個重要定理，在1636年提出。如果p是一個質數，而整數a不是p的倍數，則有$a ^ {(p-1)} \% p ≡ 1$。

$a^{（p-1）}=a^{（p-2）} * a$
所以有$a^{（p-2）} * a\%p≡1$
所以$a^{（p-2）}\%p$是$a$的逆元。

由於m,n很大，現在要求的是$\binom{n}{m}\%p$，假設$p$取100000007，由於取模運算的等價變形不適用於除法，即：
$\binom{n}{m}\%p≠ \frac{n!\%p}{m!\%p*(n-m)!\%p}\%p$
根據上面求得：

$(a / b) \% p=(a\%p)*(c\%p)\%p$
$c是b\%p的逆元。$
就相當於我們要求出${m!和(n-m)!}$的逆元，根據$a^{（p-2）}\%p$是$a$的逆元，得到
$m!的逆元是m!^{(p-2)}$
$(n-m)!的逆元是(n-m)!^{(p-2)}$
所以$\binom{n}{m}\%p=[n!\%p*(m!^{(p-2)}\%p)*((n-m)!^{(p-2)}\%p)]\%p$
下面用代碼來實現：

import math
n,m = map(int,input().split())
p = 100000007
def power(x,y):     #求x的y次方
    p = 100000007
    res = 1
    while y:
        if y % 2 != 0:
            res *= (x%p)
        y >>= 1
        x *= (x%p)
    return res
a = (math.factorial(n))%p
b = (power(math.factorial(m),(p-2)))%p
c = (power(math.factorial(n-m),(p-2)))%p
print(a*b*c%p)

中間的power函數是用快速冪做的，直接用Python的運算符“**”的話會非常大，會超時。
小白歡迎大佬指點~