卡爾曼濾波---簡述（一）

感慨

雖然本人只是個小小碼農，主攻java後臺開發，但吾以爲，學習技術，應當不分領域。
本文首先假設讀者像我當初一樣，是個對卡爾曼濾波望而生畏的小白。

參考鏈接

https://zhuanlan.zhihu.com/p/39912633
該鏈接是本人覺得描述得比較好理解的一篇文章了，從基礎一步一步推進，推導出卡爾曼濾波的過程。

https://zh.wikipedia.org/wiki/卡爾曼濾波
該鏈接有很詳盡的說明，不得不提，維基百科是個學習的好地方

公式

時間更新方程

${\hat{x}}_{\bar{k}}=A{\hat{x}}_{{k-1}}+Bu_{k-1} ~~~~~~~~~~~~~~~ ①$
$P_{\bar{k}}=AP_{k-1}A^T+Q ~~~~~~~~~~~~~~~ ②$

狀態更新方程

$K_k=\frac {P_{\bar{k}}H^T} {HP_{\bar{k}}H^T+R}~~~~~~~~~~~~~~~ ③$
${\hat{x}}_{k}={\hat{x}}_{\bar{k}}+K_k(z_k-H{\hat{x}}_{\bar{k}})~~~~~~~~~~~~~~~ ④$
$P_k=（I-K_kH）P_{\bar{k}}~~~~~~~~~~~~~~~ ⑤$

時間更新方程解讀

爲何要稱它爲時間更新方程，主要在於等式左邊都是當前值，而右邊變量則都是上一時刻值。故方程是隨着時間在推進的。
方程的目標在於，預測一個當前值以及得到該預測值的誤差。假設我們再知道測量值以及測量值的誤差，那麼就可以按照 $z=ax+(1-a)y$ 進行融合，即
$結果=預測值佔一定比例+測量值佔一定比例$
決定比例大小的因素就是誤差，誤差小更可信，佔比會更大。

①式解讀

本式子是一個預測模型的表示，通俗地翻譯公式爲：
$當前預測值=上一個最優估計值+外力作用$
其中的A和B矩陣用於轉換關係的表示，並不影響理解。
一般來講，有沒有外力都無所謂的，甚至你採用的預測模型不夠準確，也是可以應用卡爾曼濾波的，只要你的預測值不要與實際差個十萬八千里即可

②式解讀

翻譯公式爲：
$先驗估計協方差=上一後驗估計協方差+噪聲協方差$
首先搞清楚何爲先驗，何爲後驗。
舉一個先驗的例子，兩個骰子，和爲5的概率。共36種可能性，其中和爲8有1+4，2+3，3+2，4+1四種，故概率爲1/9。
舉一個後驗的例子，兩個骰子，現在搖出5點，求一個是1另一個是4的概率。由上面列舉可見，概率爲1/2。
主要是①式兩邊求協方差得到的，其中使用到如下公式
$Cov(Ax)=ACov(x)A^T$

狀態更新方程解讀

狀態更新方程兩邊都是k量，目標是融合出一個最優估計值，同時求出其協方差。

③式解讀

翻譯公式爲：
$卡爾曼增益=先驗估計協方差+量噪聲協方差$
卡爾曼增益指明瞭預測值和測量值之間的以何種比例進行結果融合，這涉及兩個高斯分佈之間的融合，參考鏈接中有詳細說明

④式解讀（目標）

翻譯公式爲：
$最優估計值=預測值+一定比例的（測量值-當前預測值）$
乍一看，好像哪裏不對，加號右邊的預測值比左邊的預測值多了一個$H_k$，原因其實是最開始都帶了$H_k$，從而兩邊都消掉了$H_k$，而加號右邊的預測值攜帶的$H_k$無法被消掉，從而在公式上顯得比較突兀，實際表達的意思和$z=ax+(1-a)y$是一致的。
本式子也是我們最關心的一個式子，該式子對外輸出了最優估計值，而其他的式子，對外並不輸出外部關心的信息。

⑤式解讀

沒得翻譯，是通過對④式兩邊求協方差得來的。

總結

講解卡爾曼濾波的文章有很多，小弟也只是初學，表達一下個人粗淺看法，純屬筆記。