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如何理解動態規劃
經典題：給定一個數組arr，arr中所有的值都爲正數且不重複。每個值代表着一種面值的貨幣，每種面值的貨幣可以使用任意張，在給定一個整數aim代表要找的錢數，求換錢有多少種哦方式
本題可以體現
暴力搜索方法->記憶搜索方法->動態規劃方法->狀態繼續化簡後的動態規劃方法
暴力搜索
arr={5、10、25、1},aim=1000
1、用0張5元的貨幣，讓[10，25,1]組成剩下的1000，最終方法數記爲----res1
2、用1張5元的貨幣，讓[10，25,1]組成剩下的995，最終方法數記爲------res2
3、用2張5元的貨幣，讓[10, 25,1]組成剩下的990，最終方法數記爲-----res3
如此類推…
201、用200張5元的貨幣，讓[10, 25,1]組成剩下的0，最終方法數記爲-----res201
定義遞歸函數：int p1(arr,index,aim)，他的定義是如果用arr[index…N-1]這些面值的錢組成aim==1000，返回總的方法數
評價：
寫出來可能比較簡單，但實際上有大量的重複部分，如0張10元，2張5元 與 1張10元，0張5元后續部分的匹配是一樣的
記憶搜索算法 （其實已經可以認爲是動態規劃了）
因爲這個過程中arr不變，變得是index和aim，以p(index,aim)進行遞歸，準備一個hashmap，
1、每計算完一個p(index,aim)都將結果放入map中，index和aim組成共同的key，返回結果爲Value
2、要進入一個遞歸過程時，先以index和aim註冊的key在map中查詢，如果已存在則直接取值
動態規劃方法
arr長度爲N，則生成行數爲N，列數爲aim+1的矩陣dp。
dp[i][j]的含義是arr[0…i]貨幣的情況下，組成錢數j有多少種方法，最終目標爲dp[N][aim+1],dp[i][j]=sum(dp[i-1][0到j])
改進：dp[i][j]=dp[i][該行上一個要統計的格子]+dp[i-1][j]（上一行用一個格子）時間複雜度O(N*aim)
動態規劃和記憶搜索方法的聯繫
1、記憶搜索爲某種形態的動態規劃方法
2、記憶搜索不關心到達某個過程的路徑，只是單純的計算遞歸過程，避免重複。3、動態規劃的方法則是規定好每一個遞歸過程的計算順序，依次進行計算，後面的計算過程嚴格依賴前面的計算過程。
4、兩者都是空間換時間，也有枚舉過程，區別在於有無規定的計算順序
解題步驟：
1、實現暴力遞歸
2、暴力遞歸中查看哪些函數可以代表遞歸過程
3、找到代表遞歸過程的參數之後，記憶化搜索的方法非常容易實現
4、分析記憶搜索的依賴路徑，找到動態規劃
5、通過動態規劃嘗試化簡
案例一
有n級臺階，每次走一級或者兩級，問有多少種方法走完，
思路：
1、可以用斐波拉切
案例二
給定矩陣m，從左下角開始每次只能向下或者向右走，路徑上數字加起來的和爲路徑和，找出最小的路徑和
思路：
1、生成和m一樣大小的矩陣dp
2、第一行的最小路徑和第一列的最小路徑可以直接累加走出（直走）
3、dp[i][j]=m[i][j]+min(dp[i-1][j]，dp[i][j-1])
案例三
給定數組arr，返回arr的最長遞增子序列長度。2,1,5,3,6,4,8,9最長遞增子序列13489，返回5
思路
生成長度爲n的數組db,db[i]爲以arr[i]的個數結尾的情況下最長遞增子序列的長度
過程：檢索i時從左邊找比i小的數，選bp最大的+1作爲自己bp的值。
dp[i]=max{dp[j]+1(0<=j<i,arr[j]<arr[i])}
案例四
給定兩個字符串str1和str2，返回兩個字符串最長公共子序列（子序列不一定要連續）
思路
str1長度爲M，str2長度爲N，生成大小爲M*N的矩陣dp。dp[i][j]的含義是str1[0…i]與str2[0…j]的最長公共子序列的長度
dp求法如下
1、dp第一列,dp[i][0]，代表str1[0…i]與str2[0]的最長公共子序列長度。str2[0]只有一個字符，所以dp[i][0]最大爲1。如果str1[i]==str2[0],則領dp[i][0]爲1，一旦dp[i][0]爲1，則令dp[i+1…M][0]全部爲1,。
2、dp第一行與第一列同理，一旦dp[0][j]被設爲1，則令dp[0][j+1…N]全部爲1
3、其他位置dp[i][j]爲一下三種情況
情況一：爲dp[i-1][j]。代表着str1[0…i-1]與str2[0…j]的最長公共子序列長度
情況二：同理可知有可能是dp[i][j-1]
情況三：如果str[i]==str[j]，還可能是dp[i-1][j-1]+1的值
選擇三者中最大的值即可
案例五
揹包問題
一個揹包承重W，有N件物品，每件物品有他們的價值，記錄在數組V也有他們的重量，記錄在數組W，問如何選擇揹包總價值最大
思路
從1到n，一件一件考慮是否加入揹包
假設dp[x][y]是前x件物品，不超過重量y的時候的最大價值：枚舉第x件物品的情況：
情況一：如果選擇第x件物品，則前x-1件物品不能超過y-w[x]
情況二：不選擇x，前x件物品，x-1件物品不能超過y
所以dp[x][y]可能等於dp[x-1][y],也就是不取第x件物品時，價值和之前一樣
也可能等於dp[x-1][y-w[x]]+v[x]
選擇最大的
行數爲物品數量n，列數爲揹包重量w，從左到右，從上到下，依次計算即可。
案例六
給定兩個字符串str1和str2，在給定三個整數ic，dc和rc，分別代表插入刪除和替換一個字符的代價。返回將str1編輯成str2的最小代價
思路：
假設str1長度爲m，str2長度n，生成大小爲(M+1)*(N+1)的矩陣dp，dp[i][j]的值代表代表str1[0…i-1]編輯成str2[0…j-1]的最小代價
1、dp[0][0]代表str1空字符串編輯成str2空字符串的代價0.
2、矩陣dp第一列即dp[0…M][0],dp[i][0]表示str1/[0…i-1]編輯成空字符串的最小代價，即都刪除dp[i][0]=dc*i
3、矩陣第一行同理，爲str1空字符串編輯成str2的代價dp[0][j]=ic*j
4、其他位置先從左到右，從上到下，dp值只會來自四種情況
情況一：（從多出來的部分減一個）
str1[0…i-1]先編輯成str[0…i-2]，也就是刪除str1[i-1],再編輯成str2[0…j-1]，dp[i-1][j]就表示str1[0…i-2]編輯成str2[0…j-1]的最小代價，所以dp[i][j]可能等於dc+dp[i-1][j]
情況二： （從少的部分加一個）
其實和一同理，dp[i][j-1]+ic
情況三：（替換一個字符）
dp[i-1][j-1]+rc
情況四：str1和str2新增的字符剛好相等。dp[i-1][j-1]
選擇最小的值作爲dp[i][j]的值
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