MATLAB數據統計和分析：常用統計量和隨機數生成

常用統計量和隨機數生成

常用統計量

1. 平均值

1. mean(X)
2. mean(A)
3. mean(A,dim)

1. X 爲向量，返回 X 中各元素平均值
2. A 爲矩陣，返回 A 中各列元素的平均值所構成的向量
3. 在給出的維度內的中位數

2. 中位數

1. median(X)
2. median(A
3. median(A,dim)

1. X 爲向量，返回 X 中各元素中位數
2. A 爲矩陣，返回 A 中各列元素的中位數所構成的向量
3. 求給出的維度內的中位數

3. 標準差、方差和極差

1. D = var(X)
2. D = var(A
3. D = var(X,1)
4. D = var(X,w)

1. 若 X 爲向量，則返回向量的樣本方差。
2. 若 A 爲矩陣，則返回 A 的列向量的樣本方差構成的行向量。
   
3. 返回向量 X 的簡單方差。
4. 返回向量 X 的以 w 爲權重的方差。

 1. std(X)
 2. std(x,1)
 3. std(x,flag,dim)

1. 返回向量 X 的樣本標準差。
2. 返回向量的標準差。
3. 返回向量中維數爲 $dim$ 的標準差值，其中 $flag = 0$ 時置前因子爲 $1/(n-1)$; 否則置前因子爲 $1/n$.

4. 偏度和峯度

偏度:
$g_{1} = \frac{1}{s^{3}}\sum^{n}_{i = 1}(X_{i} - \overline{X})^{3}$

峯度：
$g_{2} = \frac{1}{s^{4}}\sum^{n}_{i = 1}(X_{i} - \overline{X})^{4}$

偏度是反映數據對稱性的量。$g_{1}>0$ 稱爲 右偏態 ，此時數據位於均值右邊的比位於左邊的多；$g_{1}<0$ 稱爲 左偏態 ，所反映的情況相反。 $g_{1}$ 接近於 $0$ ，則可認爲數據是對稱的.

峯度是反映數據分佈形狀的量：正態分佈的峯度爲 $3$ ，若 $g_{2}$ 比 $3$ 大很多，表示樣本中有較多遠離均值的數據，分佈有沉重的尾巴。因此，峯度可用於衡量偏離正態分佈的尺度.

峯度-偏度檢驗又稱爲 $Jarque-Bera$ 檢驗，該檢驗基於數據樣本的偏度和峯度，評價給定數據是否服從未知均值和方差的正態分佈的假設。對於正態分佈數據，樣本偏度接近於 $0$ ，樣本峯度接近於 $3$.

在 $MATLAB$ 中，我們使用 $jbtest$ 函數進行 $Jarque-Bera$ 檢驗，測試數據對正態分佈的似合程度：

1. h = jbtest(X)
2. h = jbtest(X,alpha)
3. [H,P,JBSTAT,CV] = jbtest(X,alpha)

1. 對輸入數據向量 X 進行 $Jarque-Bera$ 檢驗，返回檢驗結果 $h$. 若 $h = 1$，則在顯著性水平 $0.05$ 下拒絕 $X$ 服從正態分佈的假設，若 $h = 0$，則可認爲 $X$ 服從正態分佈。
2. 在顯著性水平 $alpha$ 下進行 $Jarque-Bera$ 檢驗。
3. 函數同時返回三個其他輸出： $P$ 爲檢驗的 $p$ 值，$JBSTAT$ 爲檢驗統計量，$CV$ 爲確定是否拒絕零假設的臨界值。

隨機數

下面介紹幾種常用的隨機數生成方法：

1 二項分佈隨機數

在概率論和統計學中，二項分佈指 $n$ 個獨立的是/非試驗中成功的次數的離散概率分佈，其中沒次試驗成功的概率爲 $p$. 這樣的單次成功/失敗試驗又稱爲 $Bernoulli$ 試驗。

在 $MATLAB$ 中，我們使用 $binornd$ 函數產生二項分佈隨機數:

1. R = binornd(N,P)
2. R = binornd(N,P,m)
3. R = binornd(N,P,m,n)

1. $N,P$ 爲二項分佈的兩個參數，返回服從參數爲 $N,P$ 的二項分佈的隨機數，且 $N,P,R$ 的形式相同。
2. $m$ 是一個 $1x2$ 向量，它爲指定隨機數的個數。其中 $N,P$ 分別代表返回值 $R$ 中行與列的維數。
3. $m,n$ 分別表示 $R$ 的行數和列數。

2 $Poisson$ 分佈隨機數

$Poisson$ 分佈表達式爲：
$f(x|\lambda) = \frac{\lambda^{x}}{x!}e^{-\lambda}, \ \ \ x = 0,1,\cdots, \infty.$

在 $MATLAB$ 中，我們使用 $poisspdf$ 函數獲取 $Poisson$ 分佈隨機數：

y = poisspdf(x,Labmda)

求取參數爲 $Lambda$ 的 $Poisson$ 分佈的概率密度函數值。

3 均勻分佈隨機數

在 $MATLAB$ 中，我們使用 $unifrnd$ 函數獲取均勻分佈隨機數：

1. R = unifrnd(A,B)
2. R = unifrnd(A,B,m,n,……)

1. 生成被 $A$ 和 $B$ 指定上下端點 $[A,B]$ 的連續均勻分佈的隨機數組 $R$ .若 $A,B$ 是數組，$R(i,j)$ 是生成的被 $A,B$ 對應元素指定連續均勻分佈的隨機數。若 $N$ 和 $P$ 是標量，則被擴展爲和另一個輸入有相同維度的數組。
2. 返回 $m * n*\cdots$ 數組。若 $A$ 和 $B$ 是標量， $R$ 中所有元素是相同分佈產生的隨機數。若 $A$ 和 $B$ 是數組，則必須是 $m * n * \cdots$ 數組。

4 正態分佈隨機數

$MATLAB$ 中提供正態分佈函數 $normrnd$：

1. R = normrnd(mu,sigma)
2. R = normrnd(mu,sigma,m,n,……)

1. 返回均值爲 $mu$ ，標準差爲 $sigma$ 的正態分佈的隨機數據，$R$ 可以是向量或矩陣。
2. $m,n$ 分別表示 $R$ 的行數和列數。