poj-3233-Matrix Power Series

矩陣快速冪取模

點此查看原題鏈接

Description

Given a n × n matrix A and a positive integer k, find the sum S=A+A2+A3+…+Ak.

Input

The input contains exactly one test case. The first line of input contains three positive integers n (n ≤ 30), k (k ≤ 109) and m (m < 104). Then follow n lines each containing n nonnegative integers below 32,768, giving A’s elements in row-major order.

Output

Output the elements of S modulo m in the same way as A is given.

Sample Input

2 2 4
0 1
1 1

Sample Output

1 2
2 3

分析

一上來就使用單純的快速冪，先求Ak ，然後再 累加求和。但是k是109 ，嚴重超時。其實只要稍微研究一下還是可以發現規律的。
s=A+A2+…+Ak
s=A(1+A(1+A…（1+A))
但是這樣還是不夠的，我們來依次列開看看：
s1=A
s2=A+A2
s3=A+A2+A3
發現規律了嗎？
s2=A∗(1+s1)
s3=A∗(1+s2)
是否發現了什麼？這和快速冪求斐波那契數列是不是很相似？
於是我們可以構造矩陣

T=∣∣∣A011∣∣∣

接下來看看。

T∗T=∣∣∣A20A+11∣∣∣

T∗T∗T=∣∣∣A30A2+A+11∣∣∣

我們就可以求s 了，就是矩陣Tk+1 的右上角，但是需要減去單位矩陣。
所以現在需要的就是構造矩陣 T 了。
構建數組cnt[2*n][2*n]，左上角用來存儲矩陣A，右上角和右下角在對角線上預處理爲零，就構造成功了。

最後就是貼上雜亂的代碼了

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <string>
#include <queue>
#include <vector>
#include <stack>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <map>
using namespace std;
const int N=61;
int ans[N][N];
int a[N][N];
int tmp[N][N];
int cnt[N][N];
int n,m,k;

void fast_mod(int x)
{
    memset(ans,0,sizeof(ans));
    for (int i=0;i<2*n;i++) //構建單位矩陣
        ans[i][i]=1;
    while(x)
    {
        if(x&1)
        {
            for (int i=0;i<2*n;i++)
                for (int j=0;j<2*n;j++)
                    tmp[i][j]=ans[i][j];
            memset(ans,0,sizeof(ans));
            for (int i=0;i<2*n;i++)
                for (int j=0;j<2*n;j++)
                    for (int kk=0;kk<2*n;kk++)
                        ans[i][j]=(ans[i][j]+(tmp[kk][j]*cnt[i][kk])%m)%m;
        }
        for (int i=0;i<2*n;i++)
            for (int j=0;j<2*n;j++)
                tmp[i][j]=cnt[i][j];
        memset(cnt,0,sizeof(cnt));
        for(int i=0;i<2*n;i++)
            for (int j=0;j<2*n;j++)
                for (int kk=0;kk<2*n;kk++)
                    cnt[i][j]=(cnt[i][j]+tmp[i][kk]*tmp[kk][j]%m)%m;
        x/=2;
    }
    return ;
}

int main ()
{
   while ( scanf ("%d%d%d",&n,&k,&m)!=EOF)
   {
        memset(a,0,sizeof(a));
        memset(cnt,0,sizeof(cnt));

        for (int i=0;i<n;i++)
        {
            for (int j=0;j<n;j++)
            {
                scanf ("%d",&a[i][j]);  //讀入矩陣A
                cnt[i][j]=a[i][j];  //左上角填入矩陣A
            }
            cnt[i][i+n]=1;  //右上角對角線
            cnt[i+n][i+n]=1;    //右下角對角線
        }
        fast_mod(k+1);  //快速冪求解

        for (int i=0;i<n;i++)   //輸出矩陣的右上角
        {
            for (int j=0;j<n-1;j++)
            {
                if(i!=j)
                    printf ("%d ",(ans[i][j+n]+m)%m);   //這裏一定要先+m在%m，防止小於1
                else
                    printf ("%d ",(ans[i][j+n]-1+m)%m); //這裏更加需要+m，減去單位矩陣
            }
            if(i!=n-1)
                printf ("%d\n",(ans[i][2*n-1]+m)%m);
            else
                printf ("%d\n",(ans[i][2*n-1]-1+m)%m);
        }
   }
   return 0;
}

再次提醒
最後輸出時一定要+m再%m，我是絕不會告訴你，我就是這樣WA了好多次。