從這一章開始，我們將向大家開啓「算法」領域另一個重要的話題「動態規劃」。
首先，「動態規劃」這個名字可能聽起來有點讓琢磨不透，感覺它像是在「運籌學」這個領域裏的方法，這一點其實沒有錯，「動態規劃」的方法廣泛運用於各行各業，當然包括「運籌學」等「最優化領域」。
但我們初學「動態規劃」的時候，可以暫時忽略這個「動態規劃」有點讓人捉摸不透的名字。從一個最簡單的例子去理解「動態規劃」的基本思想。
首先我們解釋「規劃」這個詞，在《算法導論》這本書裏，對「規劃」的解釋是「表格」，這一點定義我覺得是非常準確的，因爲可以用「動態規劃」解決的問題，就是讓我們在求解問題的過程中，記錄每一步求解的結果。
下面我們解釋「動態」，我沒有在維基百科以及一些經典的書籍上找到「動態」的解釋，我自己是這樣理解「動態」這個詞。「動態」這是與求解「動態規劃」問題的兩個思路相關的。
「動態規劃」告訴我們求解一個問題，可以不直接求解這個問題，而是去思考這個問題最開始（規模最小的時候）的時候是什麼樣子，然後通過遞推的方式，一步一步得到結果，直到問題得到解決，這是一種「自下而上」的思想。
而我們熟悉的「遞歸」方法，是一種「自上而下」的思想。這兩種思想在絕大多數情況下，都能夠幫助我們解決問題。而「動態」告訴我們「自上而下」「自下而上」都可以解決這一類問題。在這裏給大家一個提示，在我們這門課程裏介紹的絕大多數「動態規劃」的問題，都可以使用「自底向上」的思路解決，樹形 dp 等情況除外。
對於可以使用「動態規劃」解決的問題，主要有下面三個特點：
1、重複子問題；
也叫「重複子問題」，從「斐波拉契數列」求解的問題中，我們知道，如果遞歸地去這個問題，會遇到很多「重複子問題」。這些子問題不應該被重複計算。
2、最優子結構；
求解子問題得到的最優解，組成了規模更大的原問題的最優解，這樣的動態規劃問題，我們稱之爲具有「最優子結構」。
動態規劃問題通常應用的場景是：我們直接求解這個問題感覺難度較大，但是我們把這個問題拆分爲規模更小的問題的時候，這個問題的解通常也就能夠找到，這樣的解決問題的實現通常都要藉助遞歸來實現。
3、無後效性。
-
在推導後面階段的狀態的時候，我們只關心前面階段的狀態值，不關心這個狀態是怎麼一步一步推導出來的。
-
某階段狀態一旦確定，就不受之後階段的決策影響。
我們將通過具體的例子來解釋可以使用「動態規劃」方法解決的問題的這 3 個特點。
我們先來看一個最最簡單的問題：「斐波拉契數列」。
「力扣」第 509 題：斐波那契數。
方法一：使用遞歸
分析：雖然可以通過，但是認爲是錯的，因爲進行了大量的重複計算。因此時間複雜度是認爲指數級別。（這個結論比較粗糙，由於我們是算法基礎課程，就不帶着代價去研究這個細節了。）
Java 代碼：
class Solution {
public int fib(int N) {
if (N < 2) {
return N;
}
return fib(N - 1) + fib(N - 2);
}
}
解決的辦法是使用一個數組作爲「緩存」，在遇到同樣的問題的時候，先查表。
- 如果已經計算過，就不再計算；
- 如果還沒有計算過，就遞歸去計算一次。
Java 代碼：
import java.util.Arrays;
public class Solution {
public int fib(int N) {
if (N < 2) {
return N;
}
// 0 要佔一個位置，所以設置 N + 1 個位置
int[] memo = new int[N + 1];
Arrays.fill(memo, -1);
return fib(N, memo);
}
public int fib(int n, int[] memo) {
if (n == 0) {
return 0;
}
if (n == 1) {
return 1;
}
if (memo[n] == -1) {
memo[n] = fib(n - 1) + fib(n - 2);
}
return memo[n];
}
}
方法二：動態規劃
上面「遞歸」求解的過程是「自底向上」的過程，而「動態規劃」告訴我們一種求解問題的思路：「自底向上」，事實上，我們人在計算的時候，更多會這樣去計算。
- 「自上而下」和 「自底向上」的解法通常都可以稱爲「動態規劃」；
- 如果沒有學習過「動態規劃」，通過「遞歸」求解，應該需要知道做了大量重複計算，因此需要加入緩存，這種做法叫「記憶化遞歸」或者「記憶化搜索」；
- 而使用「自底向上」的思路可以解決在入門階段的絕大多數「動態規劃」問題，我們就是去想一下，這個問題最開始的時候是什麼樣子，而不是直接去解決這個問題，請大家在練習的過程中逐漸體會這個思路。
注意：並不是所有的「動態規劃」問題都可以「自底向上」去做，但是初學的時候，大家可以直接適應這種解法，因爲「自上而下」的寫法就是「遞歸」的寫法，我們已經相對熟悉。
Java 代碼：
public class Solution {
public int fib(int N) {
if (N < 2) {
return N;
}
int[] dp = new int[N + 1];
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
for (int i = 2; i < N + 1; i++) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp[N];
}
}
這一小節，希望大家能夠體會「動態規劃」的一個思路，「自底向上」，並且理解使用「動態規劃」解決問題的一個特徵：「重複子問題」。
因爲有「重複子問題」，我們在「自底向上」求解的過程中，通過先解決更小規模的問題，在處理更大規模的問題的時候，直接使用了更小規模問題的結果，進而原問題得到了解決。
練習
1、「力扣」第 70 題：爬樓梯。