从这一章开始，我们将向大家开启「算法」领域另一个重要的话题「动态规划」。
首先，「动态规划」这个名字可能听起来有点让琢磨不透，感觉它像是在「运筹学」这个领域里的方法，这一点其实没有错，「动态规划」的方法广泛运用于各行各业，当然包括「运筹学」等「最优化领域」。
但我们初学「动态规划」的时候，可以暂时忽略这个「动态规划」有点让人捉摸不透的名字。从一个最简单的例子去理解「动态规划」的基本思想。
首先我们解释「规划」这个词，在《算法导论》这本书里，对「规划」的解释是「表格」，这一点定义我觉得是非常准确的，因为可以用「动态规划」解决的问题，就是让我们在求解问题的过程中，记录每一步求解的结果。
下面我们解释「动态」，我没有在维基百科以及一些经典的书籍上找到「动态」的解释，我自己是这样理解「动态」这个词。「动态」这是与求解「动态规划」问题的两个思路相关的。
「动态规划」告诉我们求解一个问题，可以不直接求解这个问题，而是去思考这个问题最开始（规模最小的时候）的时候是什么样子，然后通过递推的方式，一步一步得到结果，直到问题得到解决，这是一种「自下而上」的思想。
而我们熟悉的「递归」方法，是一种「自上而下」的思想。这两种思想在绝大多数情况下，都能够帮助我们解决问题。而「动态」告诉我们「自上而下」「自下而上」都可以解决这一类问题。在这里给大家一个提示，在我们这门课程里介绍的绝大多数「动态规划」的问题，都可以使用「自底向上」的思路解决，树形 dp 等情况除外。
对于可以使用「动态规划」解决的问题，主要有下面三个特点：
1、重复子问题；
也叫「重复子问题」，从「斐波拉契数列」求解的问题中，我们知道，如果递归地去这个问题，会遇到很多「重复子问题」。这些子问题不应该被重复计算。
2、最优子结构；
求解子问题得到的最优解，组成了规模更大的原问题的最优解，这样的动态规划问题，我们称之为具有「最优子结构」。
动态规划问题通常应用的场景是：我们直接求解这个问题感觉难度较大，但是我们把这个问题拆分为规模更小的问题的时候，这个问题的解通常也就能够找到，这样的解决问题的实现通常都要借助递归来实现。
3、无后效性。
-
在推导后面阶段的状态的时候，我们只关心前面阶段的状态值，不关心这个状态是怎么一步一步推导出来的。
-
某阶段状态一旦确定，就不受之后阶段的决策影响。
我们将通过具体的例子来解释可以使用「动态规划」方法解决的问题的这 3 个特点。
我们先来看一个最最简单的问题：「斐波拉契数列」。
「力扣」第 509 题：斐波那契数。
方法一：使用递归
分析：虽然可以通过，但是认为是错的，因为进行了大量的重复计算。因此时间复杂度是认为指数级别。（这个结论比较粗糙，由于我们是算法基础课程，就不带着代价去研究这个细节了。）
Java 代码：
class Solution {
public int fib(int N) {
if (N < 2) {
return N;
}
return fib(N - 1) + fib(N - 2);
}
}
解决的办法是使用一个数组作为「缓存」，在遇到同样的问题的时候，先查表。
- 如果已经计算过，就不再计算；
- 如果还没有计算过，就递归去计算一次。
Java 代码：
import java.util.Arrays;
public class Solution {
public int fib(int N) {
if (N < 2) {
return N;
}
// 0 要占一个位置，所以设置 N + 1 个位置
int[] memo = new int[N + 1];
Arrays.fill(memo, -1);
return fib(N, memo);
}
public int fib(int n, int[] memo) {
if (n == 0) {
return 0;
}
if (n == 1) {
return 1;
}
if (memo[n] == -1) {
memo[n] = fib(n - 1) + fib(n - 2);
}
return memo[n];
}
}
方法二：动态规划
上面「递归」求解的过程是「自底向上」的过程，而「动态规划」告诉我们一种求解问题的思路：「自底向上」，事实上，我们人在计算的时候，更多会这样去计算。
- 「自上而下」和 「自底向上」的解法通常都可以称为「动态规划」；
- 如果没有学习过「动态规划」，通过「递归」求解，应该需要知道做了大量重复计算，因此需要加入缓存，这种做法叫「记忆化递归」或者「记忆化搜索」；
- 而使用「自底向上」的思路可以解决在入门阶段的绝大多数「动态规划」问题，我们就是去想一下，这个问题最开始的时候是什么样子，而不是直接去解决这个问题，请大家在练习的过程中逐渐体会这个思路。
注意：并不是所有的「动态规划」问题都可以「自底向上」去做，但是初学的时候，大家可以直接适应这种解法，因为「自上而下」的写法就是「递归」的写法，我们已经相对熟悉。
Java 代码：
public class Solution {
public int fib(int N) {
if (N < 2) {
return N;
}
int[] dp = new int[N + 1];
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
for (int i = 2; i < N + 1; i++) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp[N];
}
}
这一小节，希望大家能够体会「动态规划」的一个思路，「自底向上」，并且理解使用「动态规划」解决问题的一个特征：「重复子问题」。
因为有「重复子问题」，我们在「自底向上」求解的过程中，通过先解决更小规模的问题，在处理更大规模的问题的时候，直接使用了更小规模问题的结果，进而原问题得到了解决。
练习
1、「力扣」第 70 题：爬楼梯。