BZOJ 1492

1492: [NOI2007]貨幣兌換Cash

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Description

小Y最近在一家金券交易所工作。該金券交易所只發行交易兩種金券：A紀念券（以下簡稱A券）和 B紀念券（以下

簡稱B券）。每個持有金券的顧客都有一個自己的帳戶。金券的數目可以是一個實數。每天隨着市場的起伏波動，

兩種金券都有自己當時的價值，即每一單位金券當天可以兌換的人民幣數目。我們記錄第 K 天中 A券 和 B券 的

價值分別爲 AK 和 BK（元/單位金券）。爲了方便顧客，金券交易所提供了一種非常方便的交易方式：比例交易法

。比例交易法分爲兩個方面：（a）賣出金券：顧客提供一個 [0,100] 內的實數 OP 作爲賣出比例，其意義爲：將

 OP% 的 A券和 OP% 的 B券 以當時的價值兌換爲人民幣；（b）買入金券：顧客支付 IP 元人民幣，交易所將會兌

換給用戶總價值爲 IP 的金券，並且，滿足提供給顧客的A券和B券的比例在第 K 天恰好爲 RateK；例如，假定接

下來 3 天內的 Ak、Bk、RateK 的變化分別爲：

假定在第一天時，用戶手中有 100元 人民幣但是沒有任何金券。用戶可以執行以下的操作：

注意到，同一天內可以進行多次操作。小Y是一個很有經濟頭腦的員工，通過較長時間的運作和行情測算，他已經

知道了未來N天內的A券和B券的價值以及Rate。他還希望能夠計算出來，如果開始時擁有S元錢，那麼N天后最多能

夠獲得多少元錢。

Input

輸入第一行兩個正整數N、S，分別表示小Y能預知的天數以及初始時擁有的錢數。接下來N行，第K行三個實數AK、B

K、RateK，意義如題目中所述。對於100%的測試數據，滿足：0<AK≤10；0<BK≤10；0<RateK≤100；MaxProfit≤1

0^9。

【提示】

1.輸入文件可能很大，請採用快速的讀入方式。

2.必然存在一種最優的買賣方案滿足：

每次買進操作使用完所有的人民幣；

每次賣出操作賣出所有的金券。

Output

只有一個實數MaxProfit，表示第N天的操作結束時能夠獲得的最大的金錢數目。答案保留3位小數。

Sample Input

3 100
1 1 1
1 2 2
2 2 3

Sample Output

225.000

HINT

可惡的精度...(說不定是我寫醜了)

可以看到,每次操作不是全買就是全賣

f[i]=max{f[i-1],A[i]*X[j]+B[i]*Y[j]} X[j],Y[j]是f[j]可以買的A,B的個數

-A[i]/B[i]*X[j]+f[i]/B[i]=Y[j]

斜率不遞增,就用一個cdq分治

我們把按斜率降序排序,維護一個上凸殼即可

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define maxn 100005
using namespace std;
typedef long double ldb;
const ldb eps=1e-10;
int bh[maxn],n,s,q[maxn],t[maxn];
ldb x[maxn],a[maxn],b[maxn],y[maxn],f[maxn],rate[maxn],k[maxn];
int compa(const int x,const int y){return k[x]>k[y];}
int comp(const int a,const int b){return fabs(x[a]-x[b])<eps?y[a]<y[b]:x[a]<x[b];}
int dcmp(ldb x){
    return fabs(x)<eps?0:(x<0?-1:1);
}
void turn(int p,ldb fx){
    if(dcmp(f[p]-fx)>=0)return ;
    f[p]=fx;
    y[p]=f[p]/(rate[p]*a[p]+b[p]);
    x[p]=f[p]*rate[p]/(rate[p]*a[p]+b[p]);
}
ldb getk(int n,int m){
    return (y[n]-y[m])/(x[n]-x[m]);
}
void cdq(int xl,int xr){
    if(xl==xr)return ;
    int mid=xl+xr>>1;
    int ptr=xl,rptr=mid+1;
    for(int i=xl;i<=xr;++i){
        if(bh[i]<=mid)t[ptr++]=bh[i];
        else t[rptr++]=bh[i];
    }
    for(int i=xl;i<=xr;++i)bh[i]=t[i];
    cdq(xl,mid);
    int l=1,r=0;
    for(int i=xl;i<=mid;++i){
        while(l<r&&dcmp(getk(bh[i],q[r])-getk(q[r],q[r-1]))>=0)r--;
        q[++r]=bh[i];
    }
    for(int i=mid+1;i<=xr;++i){
        while(l<r&&dcmp(k[bh[i]]-getk(q[l],q[l+1]))<=0)l++;
        turn(bh[i],a[bh[i]]*x[q[l]]+b[bh[i]]*y[q[l]]);
    }
    for(int i=mid+1;i<=xr;++i)turn(i,f[i-1]);
    cdq(mid+1,xr);
    int i=xl,j=mid+1;
    for(ptr=xl;i<=mid&&j<=xr;){
        if(comp(bh[i],bh[j]))t[ptr++]=bh[i++];
        else t[ptr++]=bh[j++];
    }
    for(;i<=mid;)t[ptr++]=bh[i++];
    for(;j<=xr;)t[ptr++]=bh[j++];
    for(int i=xl;i<=xr;++i)bh[i]=t[i];
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&s);
    for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%Lf%Lf%Lf",&a[i],&b[i],&rate[i]),k[i]=-a[i]/b[i];
    for(int i=1;i<=n;++i)bh[i]=i,turn(i,s);
    sort(bh+1,bh+n+1,compa);
    cdq(1,n);
    ldb ans=s;
    for(int i=1;i<=n;++i)ans=max(ans,f[i]);
    printf("%.3lf",(double)ans);
}