由Python位運算到原碼反碼補碼

採用書籍Python核心編程（第二版），人民郵電出版社，2008年7月第1版。本書以Python2.5爲主，但筆記主要以Python3.6爲主。

一、Python位運算操作符

Python支持標準位運算，位運算操作符只能用於整數。操作符如下：

操作符	意義	舉例	操作符	意義	舉例
~	按位取反	~5	&	按位與	5&6
|	按位或	5|6	^	按位異或	5^6
<<	左移m位	5<<1	>>	右移	6>>1

二、原碼反碼補碼

原碼反碼補碼的一般說法：

1. 原碼：原碼是二進制數字的一種簡單的表示法。二進制首位爲符號位，1代表負，0代表正。
2. 反碼：反碼可由原碼得到。如果是正數，反碼與原碼相同；如果是負數，反碼是其原碼（符號位除外）各位取反而得到的。
3. 補碼：補碼可由原碼得到。如果是正數，補碼與原碼相同；如果是負數，補碼是對其原碼（除符號位外）各位取反，並在末位加1而得到的（有進位則進位，但不改變符號位）。

但是爲什麼會有原碼、反碼、補碼呢？簡單來說，原碼是爲了方便人計算，補碼是方便計算機計算，而反碼是認爲提出的一箇中間橋樑。參考這篇文章：原碼、反碼和補碼，總結幾點：

1. 計算機裏面，只有加法器，沒有減法器，所有的減法運算，都必須用加法進行。
2. 用補數代替原數，可把減法轉變爲加法。出現的進位就是模，此時的進位，就應該忽略不計。
3. 二進制下，有多少位數參加運算，模就是在 1 的後面加上多少個 0。
4. 補碼就是按照這個要求來定義的：正數不變，負數即用模減去絕對值。
5. 舉例：以10爲模，6的補碼是6，-6的補碼是4。9-6=9+(-6)=9+(10-6)=9+4=13，13%10=3，結果爲3，完全正確！
6. 舉例：8位二進制的模是100000000，3的補碼是00000011，-3的補碼是11111100(100000000-00000011)。

以 8 位二進制舉幾個簡單例子：

整數	原碼	反碼	補碼
27−1=127$2^7-1=127$	01111111	01111111	01111111
+7	00000111	00000111	00000111
+1	00000001	00000001	00000001
+0(同0)	00000000(同0)	00000000(同0)	00000000(同0)
0	00000000	00000000	00000000
-0(錯誤)	10000000(錯誤)	11111111(錯誤)	10000000(錯誤)
-1	10000001	11111110	11111111
-7	10000111	11111000	11111001
−(27−1)=−127$-(2^7-1)=-127$	11111111	10000000	10000001

表格有兩個錯誤表示：+0和-0，但是給 0 加正負號根本沒有意義。我們不會討論 +0 或 -0 的原碼反碼和補碼，因爲這二者本來就是 0。所以，0(包括+0、-0)的原碼反碼和補碼都是00000000。

數字在計算機中用二進制補碼形式表示，補碼10000000表示的不是 -0，而是-128。用參考資料中的“模理論”來說明，-128的補碼的計算方法：模的二進制-絕對值的二進制（100000000-10000000）=10000000。

三、Python位運算

數字在計算機中是以補碼保存的，所以用Python位運算作用在補碼上，每一位都參與運算：

1. 按位取反~：按位取反後得到二進制表示，把該二進制看成一個新的補碼，返回該補碼對應的數字結果。
2. 按位與&，或|，異或^：同取反~
3. 左移<<和右移>>：左移和右移N位等同於無溢出檢查（忽略溢出）的N次冪運算2**N。對長整型來說，位操作符使用一種修改的二進制補碼形式，使得符號位可以無限向左擴展。也就是說，向左移位不會溢出。

Python位運算舉例：

>>> ~7 # 解釋：7的補碼是00000111 對補碼取反得到11111000 該補碼對應的整數爲-8
-8
>>> ~-7 # 解釋：-7的補碼是11111001 對補碼取反得到00000110 該補碼對應的整數爲6
6
>>> 6 & 5 
4
>>> 5 & 4
4
>>> 7 << 2
28
>>> 28 << 2
112

【補充1】原碼到反碼再到補碼的計算很簡單，但是補碼如何變回到原碼呢？

• 答：補碼的補碼就是原碼啊。如果補碼首位爲0，表示該數字爲正數，原碼反碼都與補碼相同。如果補碼首位爲1，表示該數字爲負數，對補碼再進行一次取反和末位加1操作即可得到原碼。得到原碼，即可得到該數字。

【補充2】整數的二進制用二進制補碼形式表示，那浮點數呢？

• 答：浮點數當然也用二進制補碼形式表示啦。可以參考另一篇博客 由Python浮點數溢出問題到二進制

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參考資料：

1. 原碼、反碼和補碼
2. 原碼、反碼、補碼的產生、應用以及優缺點有哪些？

推薦資料：

1. 位運算簡介及實用技巧（一）：基礎篇