逆元(Inverse element)就是在mod意义下，不能直接除以一个数，而要乘以它的逆元。
比如a∗b≡1(modp)a∗b≡1(modp)，那么a，b互为模n意义下的逆元，比如你要算x/a，就可以改成x*b%p
观察a∗b≡1(modp)a∗b≡1(modp)，就可以用扩展欧几里得算法求a了，同时这里也说明了a和p只有在互素的情况下才存在逆元。
注意
在下面所有的算法中，最好先把除数取个模再运算。
方法一：扩展欧几里得算法
原理
a∗b≡1(modp)a∗b≡1(modp)
然后a就是我们要求的逆元，最终得到一个正数a的话就要对a mod p，因为a加上mp的时侯k减少mb可以使得等式依然成立。
如果你不想让逆元为正数，那么直接返回x也是可以正确的逆元
代码
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)//扩展欧几里得算法
{
if(b==0)
{
x=1,y=0;
return a;
}
LL ret=exgcd(b,a%b,y,x);
y-=a/b*x;
return ret;
}
LL getInv(int a,int mod)//求a在mod下的逆元，不存在逆元返回-1
{
LL x,y;
LL d=exgcd(a,mod,x,y);
return d==1?(x%mod+mod)%mod:-1;
}- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
注意：返回的时候可以改成(x+mod)%mod，因为扩展欧几里得算法算出来的x应该不会太大.
性能分析:
- 时间复杂度:O(logn)（实际是斐波那契数列）
- 适用范围：只要存在逆元即可求，适用于个数不多但是mod很大的时候，也是最常见的一种求逆元的方法。
方法二:费马小定理/欧拉定理
原理
费马小定理：若p为素数，则有ap−1≡1(modp)ap−1≡1(modp)就是a在mod p意义下的逆元啦。
欧拉定理：若a、p互素，则有aφ(p)≡1(modp)aφ(p)≡1(modp)就是a在mod p意义下的逆元啦。
代码
LL qkpow(LL a,LL p,LL mod)
{
LL t=1,tt=a%mod;
while(p)
{
if(p&1)t=t*tt%mod;
tt=tt*tt%mod;
p>>=1;
}
return t;
}
LL getInv(LL a,LL mod)
{
return qkpow(a,mod-2,mod);
}- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
性能分析：
- O(logmod)
- 适用范围：一般在mod是个素数的时候用，比扩欧快一点而且好写。
- 但是如果是合数，相信一般没人无聊到去算个欧拉函数。
方法三：递推求逆元
原理
p是模数，i是待求的逆元，我们求的是i−1i−1
嗯。。好难看的公式
说白了就是:inv[i]=-(mod/i)*inv[i%mod]
然后边界是inv[1]=1
这不仅为我们提供了一个线性求逆元的方法，也提供了一种O(logmod)求逆元的方法
代码
线性求逆元
LL inv[mod+5];
void getInv(LL mod)
{
inv[1]=1;
for(int i=2;i<mod;i++)
inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
}- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
注意：
- 调用前要先预处理
- 调用的时候要先对除数取mod
性能分析：
- 时间复杂度O(n)
- 适用范围：mod数是不大的素数而且多次调用，比如卢卡斯定理。
递归求逆元
LL inv(LL i)
{
if(i==1)return 1;
return (mod-mod/i)*inv(mod%i)%mod;
}- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
性能分析
- 时间复杂度:O(logmod)
- 好像找到了最简单的算法了！！
- 适用范围： mod数是素数，所以并不好用，比如中国剩余定理中就不好使，因为很多时候可能会忘记考虑mod数是不是素数。