強連通分量
連通分量要求任意兩點可達，而強連通分量要求任意兩點互相可達，即必須存在a->b且b->a的路徑
強連通分量問題就是求解一個圖中所有的強連通分量集合。
SCC算法簡介
SCC算法在《算法導論》中有介紹到，SCC算法基於dfs，通過兩次dfs可以求出圖中所有的連通分量，是快速的方法。
在瞭解SCC算法之前先介紹兩個概念
兩個概念
dfs結束時間
規定一種【結束時間】，表示dfs退棧時候的時間，我們可以用兩個數字表示dfs進棧，退棧的時間。如下圖所示，左邊的數字是dfs開始時間，右邊的數字是dfs結束時間。
dfs結束時間可以表示拓撲排序的序列，即結束時間大的，拓撲排序排在結束時間小的節點前面，本質上表示退棧的先後，即訪問順序
轉置圖
即有向圖的出邊改爲入邊
SCC算法僞代碼描述
對原圖dfs並且將節點按照【結束時間】從大到小排序形成序列seq[]
按照seq[]序列裏面的節點順序 對【轉置圖】dfs 搜到的每一個連通分支就是一個強連通分量
？當我打出❓的時候，
這也太抽象了吧，所以下面給出證明
SCC算法正確性證明
證明過程需要一些引理的幫助，下面介紹幾個引理
引理1：
假設有兩個強連通分量c1和c2，並且存在從c1到c2的邊，那麼一定不存在從c2到c1的邊。
證明很簡單，如果存在邊從c2到c1，那麼c1c2就是同一個強連通分量，而不是兩個強連通分量了。
引理2：
如果c1到c2有邊，那麼強連通分支【c1中最晚結束節點】的結束時間，一定晚於【c2中最晚結束節點】的時間。
在正向圖中，c1的結束時間一定晚於c2，那麼有：
在轉置圖中，c2的結束時間一定晚於c1
原因也很簡單，因爲c1一定先於c2被訪問，畢竟要到達c2必先經過c1，轉置圖相當於邊全反過來，所以存在邊從c2到c1，而由引理1，不存在邊從c1到c2了，同理可得c2的結束時間晚於c1。
SCC證明
假設原圖中有強連通分量c1，在轉置圖上按照【原圖中dfs結束時間從大到小】順序dfs，一定能夠找到c1內的所有點。並且不會找到其他強連通分支內
不錯找
先來證明在反向圖上對c1中的點dfs，不會找到其他分支內的點，即不錯找
反證法：假設原圖有強連通分支c1和c2，而我們在轉置圖中對c1內的點dfs，能夠找到c2內的點，這表明轉置圖中有邊c1到c2，也就是說原圖中有邊c2到c1，那麼說明c2所有點的結束時間晚於c1中的所有點，那麼在轉置圖的dfs中，c2的點一定先於c1的點被dfs到，所有c1的點永遠到不了c2的點，即不會【錯找】
不漏找
這個好理解，假設存在x->y表示x到y有路徑
強連通分量中，存在a->b和b->a，那麼將邊全部反向變成轉置圖之後
a->b(原) 變爲 b->a(新)b->a(原) 變爲 a->b(新)
仍然存在存在 a->b和b->a，是強連通，不漏找
代碼實現
ps：其實第一次dfs，退棧之後的節點裝到一個棧裏面。dfs結束之後，按照順序彈出節點，就是結束時間從晚到早的排序序列
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, e, ans=0;
vector<vector<int>> adj;
vector<vector<int>> adj_T; // 轉置圖
vector<int> vis;
vector<int> seq; // 存節點 下標越大 結束時間越晚
// dfs原圖
void dfs(int x)
{
vis[x] = 1;
for(int i=0; i<adj[x].size(); i++)
if(vis[adj[x][i]]==0) dfs(adj[x][i]);
seq.push_back(x);
}
// dfs轉置圖
void dfs_T(int x)
{
vis[x] = 1;
for(int i=0; i<adj_T[x].size(); i++)
if(vis[adj_T[x][i]]==0) dfs_T(adj_T[x][i]);
}
int main()
{
cin>>n>>e;
adj.resize(n); adj_T.resize(n); vis.resize(n);
for(int i=0; i<e; i++)
{
int st, ed; cin>>st>>ed;
adj[st].push_back(ed);
adj_T[ed].push_back(st);
}
// dfs原圖
for(int i=0; i<n; i++)
if(vis[i]==0) dfs(i);
// 重置vis
for(int i=0; i<n; i++) vis[i]=0;
// 按照seq的順序dfs轉置圖
for(int i=n-1; i>=0; i--)
if(vis[seq[i]]==0) dfs_T(seq[i]),++ans;
cout<<"強連通分量個數: "<<ans<<endl;
return 0;
}
/*
6 8
0 1
0 4
1 2
2 0
2 1
3 2
4 5
5 4
*/