經常會遇到複雜問題不能簡單地分解成幾個子問題，而會分解出一系列的子問題。簡單地採用把大問題分解成子問題，並綜合子問題的解導出大問題的解的方法，問題求解耗時會按問題規模呈冪級數增加。
爲了節約重複求相同子問題的時間，引入一個數組，不管它們是否對最終解有用，把所有子問題的解存於該數組中，這就是動態規劃法所採用的基本方法。
【問題】 求兩字符序列的最長公共字符子序列
問題描述：字符序列的子序列是指從給定字符序列中隨意地（不一定連續）去掉若干個字符（可能一個也不去掉）後所形成的字符序列。令給定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一個嚴格遞增下標序列<i0，i1，…，ik-1>，使得對所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一個子序列。
思路：
考慮最長公共子序列問題如何分解成子問題，設A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，並Z=“z0，z1，…，zk-1”爲它們的最長公共子序列。不難證明有以下性質：
（1） 如果am-1=bn-1，則zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一個最長公共子序列；
（2） 如果am-1!=bn-1，則若zk-1!=am-1，蘊涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一個最長公共子序列；
（3） 如果am-1!=bn-1，則若zk-1!=bn-1，蘊涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一個最長公共子序列。
這樣，在找A和B的公共子序列時，如有am-1=bn-1，則進一步解決一個子問題，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一個最長公共子序列；如果am-1!=bn-1，則要解決兩個子問題，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一個最長公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一個最長公共子序列，再取兩者中較長者作爲A和B的最長公共子序列。
求解：
引進一個二維數組c[][]，用c[i][j]記錄X[i]與Y[j] 的LCS 的長度，b[i][j]記錄c[i][j]是通過哪一個子問題的值求得的，以決定搜索的方向。
我們是自底向上進行遞推計算，那麼在計算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]與c[i][j-1]均已計算出來。此時我們根據X[i] = Y[j]還是X[i] != Y[j]，就可以計算出c[i][j]。
問題的遞歸式寫成：
回溯輸出最長公共子序列過程：
算法分析：
由於每次調用至少向上或向左（或向上向左同時）移動一步，故最多調用(m + n)次就會遇到i = 0或j = 0的情況，此時開始返回。返回時與遞歸調用時方向相反，步數相同，故算法時間複雜度爲Θ(m + n)。
具體代碼如下：
#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
#define MaxN 100
int b[MaxN][MaxN]; //記錄路徑
//標記函數：b[i][j], 其值爲0、1、-1
//分別表示c[i,j]取得最大值時的三種情況
int c[MaxN][MaxN]; //保存已走步數
void LCSLength(string x, string y){
int i, j;
for (i = 0;i <= x.length();i++)
c[i][0] = 0; //第一行標記爲0
for (j = 0;j <= y.length();j++)
c[0][j] = 0; //第一列標記爲0
for (i = 1;i <= x.length();i++)
for (j = 1;j <= y.length();j++)
{
if (x[i-1]==y[j-1])
{
c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
b[i][j] = 0;
}
else if (c[i-1][j] >= c[i][j-1]){
c[i][j] = c[i - 1][j];
b[i][j] = 1;
}
else {
c[i][j] = c[i][j-1];
b[i][j] = -1;
}
}
}
void PrintLCS(string x, int b[][MaxN], int i, int j) {
if (i == 0 || j == 0)
return;
if (b[i][j] == 0)
{
PrintLCS(x, b, i - 1, j - 1);
cout << x[i - 1];
}
else if (b[i][j] == 1)
PrintLCS(x, b, i - 1,j);
else
PrintLCS(x, b, i , j - 1);
}
int main()
{
string x = "ABCBDAB" ;
string y = "BDCABA";
int m = x.length();
int n = y.length();
LCSLength(x,y);
PrintLCS(x, b, m, n);
cout << endl;
}