Ljunggren方程解的搜尋

 

Ljunggren方程

M. B. Nathanson所著《Elementary Methods in Number Theory》第42頁給出了下面一個問題：“確定Ljunggren方程x²-2y⁴=-1在x≤1000內的所有可能的整數解。”這一問題可以通過設計程序解決。因爲4次方數比平方數要稀疏，我們可以從變量y着手來設計問題求解程序。

爲了在更大範圍內尋找問題可能的解，我們限制1≤y≤181，y的上界限制爲181，是因爲2×181⁴＋1＝2146566243剛好小於2³¹，而這時1≤x≤46331。

// File:     eq_ljung.c

// Date:    05/07/2006

// Author:       Liu Jiangning

 

#include <stdio.h>

#include <conio.h>

#include <math.h>

 

#define BOOL int

#define TRUE 1

#define FALSE      0

 

BOOL isSqr(int v, int *x);

 

void main()

{

       int x, y;

       int p1, p2, p3, p4, v;

      

       p1 = 36;

       p2 = 14;

       p3 = 1;

       p4 = 0;

       for (y = 1; y <= 181; y++)

       {

              p4 += p3;

              p3 += p2;

              p2 += p1;

              p1 += 24;

 

              v = 2 * p4 - 1;

              if (isSqr(v, &x))

                     printf("%d^2-2*%d^4=-1/n", x, y);

       }

 

       getch();

}

 

BOOL isSqr(int v, int *x)

{

       int y;

 

       y = (int)sqrt((double)v);

       if (y*y == v)

       {

              *x = y;

              return TRUE;

       }

 

       return FALSE;

}

 

程序在該範圍內找到兩個解：

1²-2*1⁴=-1

239²-2*13⁴=-1