Ljunggren方程解的搜寻

 

Ljunggren方程

M. B. Nathanson所著《Elementary Methods in Number Theory》第42页给出了下面一个问题：“确定Ljunggren方程x²-2y⁴=-1在x≤1000内的所有可能的整数解。”这一问题可以通过设计程序解决。因为4次方数比平方数要稀疏，我们可以从变量y着手来设计问题求解程序。

为了在更大范围内寻找问题可能的解，我们限制1≤y≤181，y的上界限制为181，是因为2×181⁴＋1＝2146566243刚好小于2³¹，而这时1≤x≤46331。

// File:     eq_ljung.c

// Date:    05/07/2006

// Author:       Liu Jiangning

 

#include <stdio.h>

#include <conio.h>

#include <math.h>

 

#define BOOL int

#define TRUE 1

#define FALSE      0

 

BOOL isSqr(int v, int *x);

 

void main()

{

       int x, y;

       int p1, p2, p3, p4, v;

      

       p1 = 36;

       p2 = 14;

       p3 = 1;

       p4 = 0;

       for (y = 1; y <= 181; y++)

       {

              p4 += p3;

              p3 += p2;

              p2 += p1;

              p1 += 24;

 

              v = 2 * p4 - 1;

              if (isSqr(v, &x))

                     printf("%d^2-2*%d^4=-1/n", x, y);

       }

 

       getch();

}

 

BOOL isSqr(int v, int *x)

{

       int y;

 

       y = (int)sqrt((double)v);

       if (y*y == v)

       {

              *x = y;

              return TRUE;

       }

 

       return FALSE;

}

 

程序在该范围内找到两个解：

1²-2*1⁴=-1

239²-2*13⁴=-1