（轉載）百度架構師帶你使用numpy手動構建神經網絡

波士頓房價預測任務

本節將以“波士頓房價”任務爲例，向讀者介紹使用Python語言和Numpy庫來構建神經網絡模型的思考過程和操作方法。

本文代碼已上傳到github 感興趣的可以下載一下：github地址

波士頓房價預測是一個經典的機器學習任務，類似於程序員世界的“Hello World”。和大家對房價的普遍認知相同，波士頓地區的房價是由諸多因素影響的。該數據集統計了13種可能影響房價的因素和該類型房屋的均價，期望構建一個基於13個因素進行房價預測的模型，如 圖1 所示。

圖1：波士頓房價影響因素示意圖

對於預測問題，可以根據預測輸出的類型是連續的實數值，還是離散的標籤，區分爲迴歸任務和分類任務。因爲房價是一個連續值，所以房價預測顯然是一個迴歸任務。下面我們嘗試用最簡單的線性迴歸模型解決這個問題，並用神經網絡來實現這個模型。

線性迴歸模型

假設房價和各影響因素之間能夠用線性關係來描述：

$y = {\sum_{j=1}^Mx_j w_j} + b$

模型的求解即是通過數據擬合出每個$w_j$和$b$。其中，$w_j$和$b$分別表示該線性模型的權重和偏置。一維情況下，$w_j$ 和 $b$ 是直線的斜率和截距。

線性迴歸模型使用均方誤差作爲損失函數（Loss），用以衡量預測房價和真實房價的差異，公式如下：

$MSE = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n(\hat{Y_i} - {Y_i})^{2}$

---

思考：

爲什麼要以均方誤差作爲損失函數？即將模型在每個訓練樣本上的預測誤差加和，來衡量整體樣本的準確性。這是因爲損失函數的設計不僅僅要考慮“合理性”，同樣需要考慮“易解性”，這個問題在後面的內容中會詳細闡述。

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線性迴歸模型的神經網絡結構

神經網絡的標準結構中每個神經元由加權和與非線性變換構成，然後將多個神經元分層的擺放並連接形成神經網絡。線性迴歸模型可以認爲是神經網絡模型的一種極簡特例，是一個只有加權和、沒有非線性變換的神經元（無需形成網絡），如 圖2 所示。

圖2：線性迴歸模型的神經網絡結構

構建波士頓房價預測任務的神經網絡模型

深度學習不僅實現了實現模型的端到端學習，還推動了人工智能進入工業大生產階段，產生了標準化、自動化和模塊化的通用框架。不同場景的深度學習模型具具備一定的通用性，五個步驟即可完成模型的構建和訓練，如 圖3 所示。

圖3：構建神經網絡/深度學習模型的基本步驟

正是由於深度學習的建模和訓練的過程存在通用性，在構建不同的模型時，只有模型三要素不同，其它步驟基本一致，深度學習框架纔有用武之地。

數據處理

數據處理包含五個部分：數據導入、數據形狀變換、數據集劃分、數據歸一化處理和封裝load data函數。數據預處理後，才能被模型調用。

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說明：

• 本教程中的代碼都可以在AIStudio上直接運行，Print結果都是基於程序真實運行的結果。
• 由於是真實案例，代碼之前存在依賴關係，因此需要讀者逐條、全部運行，否則會導致Print時報錯。

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讀入數據

通過如下代碼讀入數據，瞭解下波士頓房價的數據集結構，數據存放在本地目錄下housing.data文件中。

# 導入需要用到的package
import numpy as np
import json
# 讀入訓練數據
datafile = './work/housing.data'
data = np.fromfile(datafile, sep=' ')
data

array([6.320e-03, 1.800e+01, 2.310e+00, ..., 3.969e+02, 7.880e+00,
       1.190e+01])

數據形狀變換

由於讀入的原始數據是1維的，所有數據都連在一起。因此需要我們將數據的形狀進行變換，形成一個2維的矩陣，每行爲一個數據樣本（14個值），每個數據樣本包含13個X（影響房價的特徵）和一個Y（該類型房屋的均價）。

# 讀入之後的數據被轉化成1維array，其中array的第0-13項是第一條數據，第14-27項是第二條數據，以此類推.... 
# 這裏對原始數據做reshape，變成N x 14的形式
feature_names = [ 'CRIM', 'ZN', 'INDUS', 'CHAS', 'NOX', 'RM', 'AGE','DIS', 
                 'RAD', 'TAX', 'PTRATIO', 'B', 'LSTAT', 'MEDV' ]
feature_num = len(feature_names)
data = data.reshape([data.shape[0] // feature_num, feature_num])

# 查看數據
x = data[0]
print(x.shape)
print(x)

()
0.00632

數據集劃分

將數據集劃分成訓練集和測試集，其中訓練集用於確定模型的參數，測試集用於評判模型的效果。爲什麼要對數據集進行拆分，而不能直接應用於模型訓練呢？這與學生時代的授課和考試關係比較類似，如 圖4 所示。

圖4：訓練集和測試集拆分的意義

上學時總有一些自作聰明的同學，平時不認真學習，考試前臨陣抱佛腳，將習題死記硬背下來，但是成績往往並不好。因爲學校期望學生掌握的是知識，而不僅僅是習題本身。另出新的考題，才能鼓勵學生努力去掌握習題背後的原理。同樣我們期望模型學習的是任務的本質規律，而不是訓練數據本身，模型訓練未使用的數據，才能更真實的評估模型的效果。

在本案例中，我們將80%的數據用作訓練集，20%用作測試集，實現代碼如下。通過打印訓練集的形狀，可以發現共有404個樣本，每個樣本含有13個特徵和1個預測值。

ratio = 0.8
offset = int(data.shape[0] * ratio)
training_data = data[:offset]
training_data.shape

(404, 14)

數據歸一化處理

對每個特徵進行歸一化處理，使得每個特徵的取值縮放到0~1之間。這樣做有兩個好處：一是模型訓練更高效；二是特徵前的權重大小可以代表該變量對預測結果的貢獻度（因爲每個特徵值本身的範圍相同）。

# 計算train數據集的最大值，最小值，平均值
maximums, minimums, avgs = \
                     training_data.max(axis=0), \
                     training_data.min(axis=0), \
     training_data.sum(axis=0) / training_data.shape[0]
# 對數據進行歸一化處理
for i in range(feature_num):
    #print(maximums[i], minimums[i], avgs[i])
    data[:, i] = (data[:, i] - avgs[i]) / (maximums[i] - minimums[i])

封裝成load data函數

將上述幾個數據處理操作封裝成load data函數，以便下一步模型的調用，代碼如下。

def load_data():
    # 從文件導入數據
    datafile = './work/housing.data'
    data = np.fromfile(datafile, sep=' ')

    # 每條數據包括14項，其中前面13項是影響因素，第14項是相應的房屋價格中位數
    feature_names = [ 'CRIM', 'ZN', 'INDUS', 'CHAS', 'NOX', 'RM', 'AGE', \
                      'DIS', 'RAD', 'TAX', 'PTRATIO', 'B', 'LSTAT', 'MEDV' ]
    feature_num = len(feature_names)

    # 將原始數據進行Reshape，變成[N, 14]這樣的形狀
    data = data.reshape([data.shape[0] // feature_num, feature_num])

    # 將原數據集拆分成訓練集和測試集
    # 這裏使用80%的數據做訓練，20%的數據做測試
    # 測試集和訓練集必須是沒有交集的
    ratio = 0.8
    offset = int(data.shape[0] * ratio)
    training_data = data[:offset]

    # 計算train數據集的最大值，最小值，平均值
    maximums, minimums, avgs = training_data.max(axis=0), training_data.min(axis=0), \
                                 training_data.sum(axis=0) / training_data.shape[0]

    # 對數據進行歸一化處理
    for i in range(feature_num):
        #print(maximums[i], minimums[i], avgs[i])
        data[:, i] = (data[:, i] - avgs[i]) / (maximums[i] - minimums[i])

    # 訓練集和測試集的劃分比例
    training_data = data[:offset]
    test_data = data[offset:]
    return training_data, test_data

# 獲取數據
training_data, test_data = load_data()
x = training_data[:, :-1]
y = training_data[:, -1:]

# 查看數據
print(x[0])
print(y[0])

[-0.02146321  0.03767327 -0.28552309 -0.08663366  0.01289726  0.04634817
  0.00795597 -0.00765794 -0.25172191 -0.11881188 -0.29002528  0.0519112
 -0.17590923]
[-0.00390539]

模型設計

模型設計是深度學習模型關鍵要素之一，也稱爲網絡結構設計，相當於模型的假設空間，即實現模型“前向計算”（從輸入到輸出）的過程。

如果將輸入特徵和輸出預測值均以向量表示，輸入特徵$x$有13個分量，$y$有1個分量，那麼參數權重的形狀（shape）是
$13\times1$
。假設我們以如下任意數字賦值參數做初始化：
$w=[0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, -0.1, -0.2, -0.3, -0.4, 0.0]$

w = [0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, -0.1, -0.2, -0.3, -0.4, 0.0]
w = np.array(w).reshape([13, 1])

取出第1條樣本數據，觀察樣本的特徵向量與參數向量相乘的結果。

x1=x[0]
t = np.dot(x1, w)
print(t)

[0.03395597]

完整的線性迴歸公式，還需要初始化偏移量$b$，同樣隨意賦初值-0.2。那麼，線性迴歸模型的完整輸出是
$z=t+b$

，這個從特徵和參數計算輸出值的過程稱爲“前向計算”。

b = -0.2
z = t + b
print(z)

[-0.16604403]

將上述計算預測輸出的過程以“類和對象”的方式來描述，類成員變量有參數$w$和$b$。通過寫一個forward函數（代表“前向計算”）完成上述從特徵和參數到輸出預測值的計算過程，代碼如下所示。

class Network(object):
    def __init__(self, num_of_weights):
        # 隨機產生w的初始值
        # 爲了保持程序每次運行結果的一致性，
        # 此處設置固定的隨機數種子
        np.random.seed(0)
        self.w = np.random.randn(num_of_weights, 1)
        self.b = 0.
        
    def forward(self, x):
        z = np.dot(x, self.w) + self.b
        return z

基於Network類的定義，模型的計算過程如下所示。

net = Network(13)
x1 = x[0]
y1 = y[0]
z = net.forward(x1)
print(z)

[-0.63182506]

訓練配置

模型設計完成後，需要通過訓練配置尋找模型的最優值，即通過損失函數來衡量模型的好壞。訓練配置也是深度學習模型關鍵要素之一。

通過模型計算$x_1$表示的影響因素所對應的房價應該是$z$, 但實際數據告訴我們房價是$y$。這時我們需要有某種指標來衡量預測值$z$跟真實值$y$之間的差距。對於迴歸問題，最常採用的衡量方法是使用均方誤差作爲評價模型好壞的指標，具體定義如下：

$Loss = (y - z)^2$
上式中的$Loss$（簡記爲: $L$）通常也被稱作損失函數，它是衡量模型好壞的指標。在迴歸問題中均方誤差是一種比較常見的形式，分類問題中通常會採用交叉熵作爲損失函數，在後續的章節中會更詳細的介紹。對一個樣本計算損失的代碼實現如下：

Loss = (y1 - z)*(y1 - z)
print(Loss)

[0.39428312]

因爲計算損失時需要把每個樣本的損失都考慮到，所以我們需要對單個樣本的損失函數進行求和，併除以樣本總數$N$。
$L= \frac{1}{N}\sum_i{(y_i - z_i)^2}$
在Network類下面添加損失函數的計算過程如下：

class Network(object):
    def __init__(self, num_of_weights):
        # 隨機產生w的初始值
        # 爲了保持程序每次運行結果的一致性，此處設置固定的隨機數種子
        np.random.seed(0)
        self.w = np.random.randn(num_of_weights, 1)
        self.b = 0.
        
    def forward(self, x):
        z = np.dot(x, self.w) + self.b
        return z
    
    def loss(self, z, y):
        error = z - y
        cost = error * error
        cost = np.mean(cost)
        return cost

使用定義的Network類，可以方便的計算預測值和損失函數。需要注意的是，類中的變量$x$, $w$，$b$, $z$, $error$等均是向量。以變量$x$爲例，共有兩個維度，一個代表特徵數量（值爲13），一個代表樣本數量，代碼如下所示。

net = Network(13)
# 此處可以一次性計算多個樣本的預測值和損失函數
x1 = x[0:3]
y1 = y[0:3]
z = net.forward(x1)
print('predict: ', z)
loss = net.loss(z, y1)
print('loss:', loss)

predict:  [[-0.63182506]
 [-0.55793096]
 [-1.00062009]]
loss: 0.7229825055441156

訓練過程

上述計算過程描述瞭如何構建神經網絡，通過神經網絡完成預測值和損失函數的計算。接下來介紹如何求解參數w和b的數值，這個過程也稱爲模型訓練過程。訓練過程是深度學習模型的關鍵要素之一，其目標是讓定義的損失函數Loss儘可能的小，也就是說找到一個參數解w和b使得損失函數取得極小值。

我們先做一個小測試：如 圖5 所示，基於微積分知識，求一條曲線在某個點的斜率等於函數該點的導數值。那麼大家思考下，當處於曲線的極值點時，該點的斜率是多少？

圖5：曲線斜率等於導數值

這個問題並不難回答，處於曲線極值點時的斜率爲0，即函數在極值點處的導數爲0。那麼，讓損失函數取極小值的$w$和$b$應該是下述方程組的解：
$\frac{\partial{L}}{\partial{w}}=0$

$\frac{\partial{L}}{\partial{b}}=0$

將樣本數據
$(x, y)$
帶入上面的方程組中即可求解出$w$和$b$的值，但是這種方法只對線性迴歸這樣簡單的任務有效。如果模型中含有非線性變換，或者損失函數不是均方差這種簡單的形式，則很難通過上式求解。爲了解決這個問題，下面我們將引入更加普適的數值求解方法：梯度下降法。

梯度下降法

在現實中存在大量的函數正向求解容易，反向求解較難，被稱爲單向函數。這種函數在密碼學中有大量的應用，密碼鎖的特點是可以迅速判斷一個密鑰是否是正確的(已知x，求y很容易)，但是即使獲取到密碼鎖系統，無法破解出正確的密鑰是什麼（已知y，求x很難）。

這種情況特別類似於一位想從山峯走到坡谷的盲人，他看不見坡谷在哪（無法逆向求解出$Loss&導數爲0時的參數值），但可以伸腳探索身邊的坡度（當前點的導數值，也稱爲梯度）。那麼，求解Loss函數最小值可以“從當前的參數取值，一步步的按照下坡的方向下降，直到走到最低點”實現。這種方法筆者個人稱它爲“盲人下坡法”。哦不，有個更正式的說法“梯度下降法”。

訓練的關鍵是找到一組(w, b)，使得損失函$L取極小值。我們先看一下損失函數L只隨兩個參數w_5、w_9變化時的簡單情形，啓發下尋解的思路。
$L=L(w_5, w_9)$
這裏我們將w_0, w_1, …, w_{12}中除w_5, w_9之外的參數和b都固定下來，可以用圖畫出L(w_5, w_9)的形式。

net = Network(13)
losses = []
#只畫出參數w5和w9在區間[-160, 160]的曲線部分，以及包含損失函數的極值
w5 = np.arange(-160.0, 160.0, 1.0)
w9 = np.arange(-160.0, 160.0, 1.0)
losses = np.zeros([len(w5), len(w9)])

#計算設定區域內每個參數取值所對應的Loss
for i in range(len(w5)):
    for j in range(len(w9)):
        net.w[5] = w5[i]
        net.w[9] = w9[j]
        z = net.forward(x)
        loss = net.loss(z, y)
        losses[i, j] = loss

#使用matplotlib將兩個變量和對應的Loss作3D圖
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)

w5, w9 = np.meshgrid(w5, w9)

ax.plot_surface(w5, w9, losses, rstride=1, cstride=1, cmap='rainbow')
plt.show()

對於這種簡單情形，我們利用上面的程序，可以在三維空間中畫出損失函數隨參數變化的曲面圖。從圖中可以看出有些區域的函數值明顯比周圍的點小。

需要說明的是：爲什麼這裏我們選擇w_5和w_9來畫圖？這是因爲選擇這兩個參數的時候，可比較直觀的從損失函數的曲面圖上發現極值點的存在。其他參數組合，從圖形上觀測損失函數的極值點不夠直觀。

觀察上述曲線呈現出“圓滑”的坡度，這正是我們選擇以均方誤差作爲損失函數的原因之一。圖6 呈現了只有一個參數維度時，均方誤差和絕對值誤差（只將每個樣本的誤差累加，不做平方處理）的損失函數曲線圖。

圖6：均方誤差和絕對值誤差損失函數曲線圖

由此可見，均方誤差表現的“圓滑”的坡度有兩個好處：

• 曲線的最低點是可導的。
• 越接近最低點，曲線的坡度逐漸放緩，有助與基於當前的梯度來判斷接近最低點的程度（是否逐漸減少步長，以免錯過最低點）。

而這兩個特性絕對值誤差是不具備的，這也是損失函數的設計不僅僅要考慮“合理性”，還要追求“易解性”的原因。

現在我們要找出一組[w_5, w_9]的值，使得損失函數最小，實現梯度下降法的方案如下：

• 步驟1：隨機的選一組初始值，例如：[w_5, w_9] = [-100.0, -100.0]

• 步驟2：選取下一個點
  $[w_5^{'} , w_9^{'}]$
  ，使得$
  $L(w_5^{'} , w_9^{'}) < L(w_5, w_9)$

• 步驟3：重複步驟2，直到損失函數幾乎不再下降。

如何選擇
$[w_5^{'} , w_9^{'}]$
$是至關重要的，第一要保證L是下降的，第二要使得下降的趨勢儘可能的快。微積分的基礎知識告訴我們，沿着梯度的反方向，是函數值下降最快的方向，如 圖7 所示。簡單理解，函數在某一個點的梯度方向是曲線斜率最大的方向，但梯度方向是向上的，所以下降最快的是梯度的反方向。

圖7：梯度下降方向示意圖

計算梯度

上面我們講過了損失函數的計算方法，這裏稍微加以改寫。爲了梯度計算更加簡潔，引入因子
$\frac{1}{2}$
，定義損失函數如下：

$L= \frac{1}{2N}\sum_{i=1}^N{(y_i - z_i)^2}$

其中$z_i$是網絡對第$i$個樣本的預測值：

$z_i = \sum_{j=0}^{12}{x_i^{j}\cdot w_j} + b$
梯度的定義：

$gradient= (\frac{\partial{L}}{\partial{w_0}},\frac{\partial{L}}{\partial{w_1}}, ... ,\frac{\partial{L}}{\partial{w_12}} ,\frac{\partial{L}}{\partial{b}})$

可以計算出L對w和b的偏導數：

$\frac{\partial{L}}{\partial{w_j}} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N{(z_i - y_i)\frac{\partial{z_i}}{\partial{w_j}}} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N{(z_i - y_i)x_i^{j}}$

$\frac{\partial{L}}{\partial{b}} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N{(z_i - y_i)\frac{\partial{z_i}}{\partial{b}}} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N{(z_i - y_i)}$

從導數的計算過程可以看出，因子
$\frac{1}{2}$
被消掉了，這是因爲二次函數求導的時候會產生因子2，這也是我們將損失函數改寫的原因。

下面我們考慮只有一個樣本的情況下，計算梯度：

$L= \frac{1}{2}{(y_i - z_i)^2}$

$z_1 = {x_1^{0}\cdot w_0} + {x_1^{1}\cdot w_1} + ... + {x_1^{12}\cdot w_12} + b$

可以計算出：

$L= \frac{1}{2}{({x_1^{0}\cdot w_0} + {x_1^{1}\cdot w_1} + ... + {x_1^{12}\cdot w_12} + b - y_1)^2}$

可以計算出L對w和b的偏導數：

$\frac{\partial{L}}{\partial{w_0}} = ({x_1^{0}\cdot w_0} + {x_1^{1}\cdot w_1} + ... + {x_1^{12}\cdot w_12} + b - y_1)\cdot x_1^{0}=({z_1} - {y_1})\cdot x_1^{0}$

$\frac{\partial{L}}{\partial{b}} = ({x_1^{0}\cdot w_0} + {x_1^{1}\cdot w_1} + ... + {x_1^{12}\cdot w_12} + b - y_1)\cdot 1 = ({z_1} - {y_1})$

可以通過具體的程序查看每個變量的數據和維度。

x1 = x[0]
y1 = y[0]
z1 = net.forward(x1)
print('x1 {}, shape {}'.format(x1, x1.shape))
print('y1 {}, shape {}'.format(y1, y1.shape))
print('z1 {}, shape {}'.format(z1, z1.shape))

x1 [-0.02146321  0.03767327 -0.28552309 -0.08663366  0.01289726  0.04634817
  0.00795597 -0.00765794 -0.25172191 -0.11881188 -0.29002528  0.0519112
 -0.17590923], shape (13,)
y1 [-0.00390539], shape (1,)
z1 [-12.05947643], shape (1,)

按上面的公式，當只有一個樣本時，可以計算某個w_j，比如w_0的梯度。

gradient_w0 = (z1 - y1) * x1[0]
print('gradient_w0 {}'.format(gradient_w0))

gradient_w0 [0.25875126]

同樣我們可以計算w_1的梯度。

gradient_w1 = (z1 - y1) * x1[1]
print('gradient_w1 {}'.format(gradient_w1))

gradient_w1 [-0.45417275]

依次計算w_2的梯度。

gradient_w2= (z1 - y1) * x1[2]
print('gradient_w1 {}'.format(gradient_w2))

gradient_w1 [3.44214394]

聰明的讀者可能已經想到，寫一個for循環即可計算從$w_0$到$w_{12}$的所有權重的梯度，該方法讀者可以自行實現。

使用Numpy進行梯度計算

基於Numpy廣播機制（對向量和矩陣計算如同對1個單一變量計算一樣），可以更快速的實現梯度計算。計算梯度的代碼中直接用(z1 - y1) * x1，得到的是一個13維的向量，每個分量分別代表該維度的梯度。

gradient_w = (z1 - y1) * x1
print('gradient_w_by_sample1 {}, gradient.shape {}'.format(gradient_w, gradient_w.shape))

gradient_w_by_sample1 [ 0.25875126 -0.45417275  3.44214394  1.04441828 -0.15548386 -0.55875363
 -0.09591377  0.09232085  3.03465138  1.43234507  3.49642036 -0.62581917
  2.12068622], gradient.shape (13,)

輸入數據中有多個樣本，每個樣本都對梯度有貢獻。如上代碼計算了只有樣本1時的梯度值，同樣的計算方法也可以計算樣本2和樣本3對梯度的貢獻。

x2 = x[1]
y2 = y[1]
z2 = net.forward(x2)
gradient_w = (z2 - y2) * x2
print('gradient_w_by_sample2 {}, gradient.shape {}'.format(gradient_w, gradient_w.shape))

gradient_w_by_sample2 [ 0.7329239   4.91417754  3.33394253  2.9912385   4.45673435 -0.58146277
 -5.14623287 -2.4894594   7.19011988  7.99471607  0.83100061 -1.79236081
  2.11028056], gradient.shape (13,)

x3 = x[2]
y3 = y[2]
z3 = net.forward(x3)
gradient_w = (z3 - y3) * x3
print('gradient_w_by_sample3 {}, gradient.shape {}'.format(gradient_w, gradient_w.shape))

gradient_w_by_sample3 [ 0.25138584  1.68549775  1.14349809  1.02595515  1.5286008  -1.93302947
  0.4058236  -0.85385157  2.46611579  2.74208162  0.28502219 -0.46695229
  2.39363651], gradient.shape (13,)

可能有的讀者再次想到可以使用for循環把每個樣本對梯度的貢獻都計算出來，然後再作平均。但是我們不需要這麼做，仍然可以使用Numpy的矩陣操作來簡化運算，如3個樣本的情況。

# 注意這裏是一次取出3個樣本的數據，不是取出第3個樣本
x3samples = x[0:3]
y3samples = y[0:3]
z3samples = net.forward(x3samples)

print('x {}, shape {}'.format(x3samples, x3samples.shape))
print('y {}, shape {}'.format(y3samples, y3samples.shape))
print('z {}, shape {}'.format(z3samples, z3samples.shape))

x [[-0.02146321  0.03767327 -0.28552309 -0.08663366  0.01289726  0.04634817
   0.00795597 -0.00765794 -0.25172191 -0.11881188 -0.29002528  0.0519112
  -0.17590923]
 [-0.02122729 -0.14232673 -0.09655922 -0.08663366 -0.12907805  0.0168406
   0.14904763  0.0721009  -0.20824365 -0.23154675 -0.02406783  0.0519112
  -0.06111894]
 [-0.02122751 -0.14232673 -0.09655922 -0.08663366 -0.12907805  0.1632288
  -0.03426854  0.0721009  -0.20824365 -0.23154675 -0.02406783  0.03943037
  -0.20212336]], shape (3, 13)
y [[-0.00390539]
 [-0.05723872]
 [ 0.23387239]], shape (3, 1)
z [[-12.05947643]
 [-34.58467747]
 [-11.60858134]], shape (3, 1)

上面的x3samples, y3samples, z3samples的第一維大小均爲3，表示有3個樣本。下面計算這3個樣本對梯度的貢獻。

gradient_w = (z3samples - y3samples) * x3samples
print('gradient_w {}, gradient.shape {}'.format(gradient_w, gradient_w.shape))

gradient_w [[ 0.25875126 -0.45417275  3.44214394  1.04441828 -0.15548386 -0.55875363
  -0.09591377  0.09232085  3.03465138  1.43234507  3.49642036 -0.62581917
   2.12068622]
 [ 0.7329239   4.91417754  3.33394253  2.9912385   4.45673435 -0.58146277
  -5.14623287 -2.4894594   7.19011988  7.99471607  0.83100061 -1.79236081
   2.11028056]
 [ 0.25138584  1.68549775  1.14349809  1.02595515  1.5286008  -1.93302947
   0.4058236  -0.85385157  2.46611579  2.74208162  0.28502219 -0.46695229
   2.39363651]], gradient.shape (3, 13)

此處可見，計算梯度gradient_w的維度是$3 \times 13$，並且其第1行與上面第1個樣本計算的梯度gradient_w_by_sample1一致，第2行與上面第2個樣本計算的梯度gradient_w_by_sample1一致，第3行與上面第3個樣本計算的梯度gradient_w_by_sample1一致。這裏使用矩陣操作，可能更加方便的對3個樣本分別計算各自對梯度的貢獻。

那麼對於有N個樣本的情形，我們可以直接使用如下方式計算出所有樣本對梯度的貢獻，這就是使用Numpy庫廣播功能帶來的便捷。
小結一下這裏使用Numpy庫的廣播功能：

• 一方面可以擴展參數的維度，代替for循環來計算1個樣本對從w0 到w12 的所有參數的梯度。
• 另一方面可以擴展樣本的維度，代替for循環來計算樣本0到樣本403對參數的梯度。

z = net.forward(x)
gradient_w = (z - y) * x
print('gradient_w shape {}'.format(gradient_w.shape))
print(gradient_w)

gradient_w shape (404, 13)
[[  0.25875126  -0.45417275   3.44214394 ...   3.49642036  -0.62581917
    2.12068622]
 [  0.7329239    4.91417754   3.33394253 ...   0.83100061  -1.79236081
    2.11028056]
 [  0.25138584   1.68549775   1.14349809 ...   0.28502219  -0.46695229
    2.39363651]
 ...
 [ 14.70025543 -15.10890735  36.23258734 ...  24.54882966   5.51071122
   26.26098922]
 [  9.29832217 -15.33146159  36.76629344 ...  24.91043398  -1.27564923
   26.61808955]
 [ 19.55115919 -10.8177237   25.94192351 ...  17.5765494    3.94557661
   17.64891012]]

上面gradient_w的每一行代表了一個樣本對梯度的貢獻。根據梯度的計算公式，總梯度是對每個樣本對梯度貢獻的平均值。

$\frac{\partial{L}}{\partial{w_j}} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N{(z_i - y_i)\frac{\partial{z_i}}{\partial{w_j}}} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N{(z_i - y_i)x_i^{j}}$

我們也可以使用Numpy的均值函數來完成此過程：

# axis = 0 表示把每一行做相加然後再除以總的行數
gradient_w = np.mean(gradient_w, axis=0)
print('gradient_w ', gradient_w.shape)
print('w ', net.w.shape)
print(gradient_w)
print(net.w)

gradient_w  (13,)
w  (13, 1)
[ 1.59697064 -0.92928123  4.72726926  1.65712204  4.96176389  1.18068454
  4.55846519 -3.37770889  9.57465893 10.29870662  1.3900257  -0.30152215
  1.09276043]
[[ 1.76405235e+00]
 [ 4.00157208e-01]
 [ 9.78737984e-01]
 [ 2.24089320e+00]
 [ 1.86755799e+00]
 [ 1.59000000e+02]
 [ 9.50088418e-01]
 [-1.51357208e-01]
 [-1.03218852e-01]
 [ 1.59000000e+02]
 [ 1.44043571e-01]
 [ 1.45427351e+00]
 [ 7.61037725e-01]]

我們使用numpy的矩陣操作方便的完成了gradient的計算，但引入了一個問題，gradient_w的形狀是(13,)，而w的維度是(13, 1)。導致該問題的原因是使用np.mean函數的時候消除了第0維。爲了加減乘除等計算方便，gradient_w和w必須保持一致的形狀。因此我們將gradient_w的維度也設置爲(13, 1)，代碼如下：

gradient_w = gradient_w[:, np.newaxis]
print('gradient_w shape', gradient_w.shape)

gradient_w shape (13, 1)

綜合上面的討論，計算梯度的代碼如下所示。

z = net.forward(x)
gradient_w = (z - y) * x
gradient_w = np.mean(gradient_w, axis=0)
gradient_w = gradient_w[:, np.newaxis]
gradient_w

array([[ 1.59697064],
       [-0.92928123],
       [ 4.72726926],
       [ 1.65712204],
       [ 4.96176389],
       [ 1.18068454],
       [ 4.55846519],
       [-3.37770889],
       [ 9.57465893],
       [10.29870662],
       [ 1.3900257 ],
       [-0.30152215],
       [ 1.09276043]])

上述代碼非常簡潔的完成了w的梯度計算。同樣，計算$b$的梯度的代碼也是類似的原理。

gradient_b = (z - y)
gradient_b = np.mean(gradient_b)
# 此處b是一個數值，所以可以直接用np.mean得到一個標量
gradient_b

-1.0918438870293816e-13

將上面計算w和b的梯度的過程，寫成Network類的gradient函數，代碼如下所示。

class Network(object):
    def __init__(self, num_of_weights):
        # 隨機產生w的初始值
        # 爲了保持程序每次運行結果的一致性，此處設置固定的隨機數種子
        np.random.seed(0)
        self.w = np.random.randn(num_of_weights, 1)
        self.b = 0.
        
    def forward(self, x):
        z = np.dot(x, self.w) + self.b
        return z
    
    def loss(self, z, y):
        error = z - y
        num_samples = error.shape[0]
        cost = error * error
        cost = np.sum(cost) / num_samples
        return cost
    
    def gradient(self, x, y):
        z = self.forward(x)
        gradient_w = (z-y)*x
        gradient_w = np.mean(gradient_w, axis=0)
        gradient_w = gradient_w[:, np.newaxis]
        gradient_b = (z - y)
        gradient_b = np.mean(gradient_b)
        
        return gradient_w, gradient_b

# 調用上面定義的gradient函數，計算梯度
# 初始化網絡，
net = Network(13)
# 設置[w5, w9] = [-100., +100.]
net.w[5] = -100.0
net.w[9] = -100.0

z = net.forward(x)
loss = net.loss(z, y)
gradient_w, gradient_b = net.gradient(x, y)
gradient_w5 = gradient_w[5][0]
gradient_w9 = gradient_w[9][0]
print('point {}, loss {}'.format([net.w[5][0], net.w[9][0]], loss))
print('gradient {}'.format([gradient_w5, gradient_w9]))

point [-100.0, -100.0], loss 686.3005008179159
gradient [-0.850073323995813, -6.138412364807849]

確定損失函數更小的點

下面我們開始研究更新梯度的方法。首先沿着梯度的反方向移動一小步，找到下一個點P1，觀察損失函數的變化。

# 在[w5, w9]平面上，沿着梯度的反方向移動到下一個點P1
# 定義移動步長 eta
eta = 0.1
# 更新參數w5和w9
net.w[5] = net.w[5] - eta * gradient_w5
net.w[9] = net.w[9] - eta * gradient_w9
# 重新計算z和loss
z = net.forward(x)
loss = net.loss(z, y)
gradient_w, gradient_b = net.gradient(x, y)
gradient_w5 = gradient_w[5][0]
gradient_w9 = gradient_w[9][0]
print('point {}, loss {}'.format([net.w[5][0], net.w[9][0]], loss))
print('gradient {}'.format([gradient_w5, gradient_w9]))

point [-99.91499266760042, -99.38615876351922], loss 678.6472185028845
gradient [-0.8556356178645292, -6.0932268634065805]

運行上面的代碼，可以發現沿着梯度反方向走一小步，下一個點的損失函數的確減少了。感興趣的話，大家可以嘗試不停的點擊上面的代碼塊，觀察損失函數是否一直在變小。

在上述代碼中，每次更新參數使用的語句：
net.w[5] = net.w[5] - eta * gradient_w5

• 相減：參數需要向梯度的反方向移動。
• eta：控制每次參數值沿着梯度反方向變動的大小，即每次移動的步長，又稱爲學習率。

大家可以思考下，爲什麼之前我們要做輸入特徵的歸一化，保持尺度一致？這是爲了讓統一的步長更加合適。

如 圖8 所示，特徵輸入歸一化後，不同參數輸出的Loss是一個比較規整的曲線，學習率可以設置成統一的值 ；特徵輸入未歸一化時，不同特徵對應的參數所需的步長不一致，尺度較大的參數需要大步長，尺寸較小的參數需要小步長，導致無法設置統一的學習率。

圖8：未歸一化的特徵，會導致不同特徵維度的理想步長不同

代碼封裝Train函數

將上面的循環的計算過程封裝在train和update函數中，代碼如下所示。

class Network(object):
    def __init__(self, num_of_weights):
        # 隨機產生w的初始值
        # 爲了保持程序每次運行結果的一致性，此處設置固定的隨機數種子
        np.random.seed(0)
        self.w = np.random.randn(num_of_weights,1)
        self.w[5] = -100.
        self.w[9] = -100.
        self.b = 0.
        
    def forward(self, x):
        z = np.dot(x, self.w) + self.b
        return z
    
    def loss(self, z, y):
        error = z - y
        num_samples = error.shape[0]
        cost = error * error
        cost = np.sum(cost) / num_samples
        return cost
    
    def gradient(self, x, y):
        z = self.forward(x)
        gradient_w = (z-y)*x
        gradient_w = np.mean(gradient_w, axis=0)
        gradient_w = gradient_w[:, np.newaxis]
        gradient_b = (z - y)
        gradient_b = np.mean(gradient_b)        
        return gradient_w, gradient_b
    
    def update(self, graident_w5, gradient_w9, eta=0.01):
        net.w[5] = net.w[5] - eta * gradient_w5
        net.w[9] = net.w[9] - eta * gradient_w9
        
    def train(self, x, y, iterations=100, eta=0.01):
        points = []
        losses = []
        for i in range(iterations):
            points.append([net.w[5][0], net.w[9][0]])
            z = self.forward(x)
            L = self.loss(z, y)
            gradient_w, gradient_b = self.gradient(x, y)
            gradient_w5 = gradient_w[5][0]
            gradient_w9 = gradient_w[9][0]
            self.update(gradient_w5, gradient_w9, eta)
            losses.append(L)
            if i % 50 == 0:
                print('iter {}, point {}, loss {}'.format(i, [net.w[5][0], net.w[9][0]], L))
        return points, losses

# 獲取數據
train_data, test_data = load_data()
x = train_data[:, :-1]
y = train_data[:, -1:]
# 創建網絡
net = Network(13)
num_iterations=2000
# 啓動訓練
points, losses = net.train(x, y, iterations=num_iterations, eta=0.01)

# 畫出損失函數的變化趨勢
plot_x = np.arange(num_iterations)
plot_y = np.array(losses)
plt.plot(plot_x, plot_y)
plt.show()

iter 0, point [-99.99144364382136, -99.93861587635192], loss 686.3005008179159
iter 50, point [-99.56362583488914, -96.92631128470325], loss 649.221346830939
iter 100, point [-99.13580802595692, -94.02279509580971], loss 614.6970095624063
iter 150, point [-98.7079902170247, -91.22404911807594], loss 582.543755023494
iter 200, point [-98.28017240809248, -88.52620357520894], loss 552.5911329872217
iter 250, point [-97.85235459916026, -85.9255316243737], loss 524.6810152322887
iter 300, point [-97.42453679022805, -83.41844407682491], loss 498.6667034691001
iter 350, point [-96.99671898129583, -81.00148431353688], loss 474.4121018974464
iter 400, point [-96.56890117236361, -78.67132338862874], loss 451.7909497114133
iter 450, point [-96.14108336343139, -76.42475531364933], loss 430.68610920670284
iter 500, point [-95.71326555449917, -74.25869251604028], loss 410.988905460488
iter 550, point [-95.28544774556696, -72.17016146534513], loss 392.5985138460824
iter 600, point [-94.85762993663474, -70.15629846096763], loss 375.4213919156372
iter 650, point [-94.42981212770252, -68.21434557551346], loss 359.3707524354014
iter 700, point [-94.0019943187703, -66.34164674796719], loss 344.36607459115214
iter 750, point [-93.57417650983808, -64.53564402117185], loss 330.33265059761464
iter 800, point [-93.14635870090586, -62.793873918279786], loss 317.2011651461846
iter 850, point [-92.71854089197365, -61.11396395304264], loss 304.907305311265
iter 900, point [-92.29072308304143, -59.49362926899678], loss 293.3913987080144
iter 950, point [-91.86290527410921, -57.930669402782904], loss 282.5980778542974
iter 1000, point [-91.43508746517699, -56.4229651670156], loss 272.47596883802515
iter 1050, point [-91.00726965624477, -54.968475648286564], loss 262.9774025287022
iter 1100, point [-90.57945184731255, -53.56523531604897], loss 254.05814669965383
iter 1150, point [-90.15163403838034, -52.21135123828792], loss 245.67715754581488
iter 1200, point [-89.72381622944812, -50.90500040003218], loss 237.796349191773
iter 1250, point [-89.2959984205159, -49.6444271209092], loss 230.3803798866218
iter 1300, point [-88.86818061158368, -48.42794056808474], loss 223.3964536766492
iter 1350, point [-88.44036280265146, -47.2539123610643], loss 216.81413643451378
iter 1400, point [-88.01254499371925, -46.12077426496303], loss 210.60518520483126
iter 1450, point [-87.58472718478703, -45.027015968976976], loss 204.74338990147896
iter 1500, point [-87.15690937585481, -43.9711829469081], loss 199.20442646183588
iter 1550, point [-86.72909156692259, -42.95187439671279], loss 193.96572062803054
iter 1600, point [-86.30127375799037, -41.96774125615467], loss 189.00632158541163
iter 1650, point [-85.87345594905815, -41.017484291751295], loss 184.3067847442463
iter 1700, point [-85.44563814012594, -40.0998522583068], loss 179.84906300239203
iter 1750, point [-85.01782033119372, -39.21364012642417], loss 175.61640587468244
iter 1800, point [-84.5900025222615, -38.35768737548557], loss 171.59326591927967
iter 1850, point [-84.16218471332928, -37.530876349682856], loss 167.76521193253296
iter 1900, point [-83.73436690439706, -36.73213067476985], loss 164.11884842217898
iter 1950, point [-83.30654909546485, -35.96041373329276], loss 160.64174090423475

訓練擴展到全部參數

爲了能給讀者直觀的感受，上面演示的梯度下降的過程僅包含$w_5$和$w_9$兩個參數，但房價預測的完整模型，必須要對所有參數$w$和$b$進行求解。這需要將Network中的update和train函數進行修改。由於不再限定參與計算的參數（所有參數均參與計算），修改之後的代碼反而更加簡潔。實現邏輯：“前向計算輸出、根據輸出和真實值計算Loss、基於Loss和輸入計算梯度、根據梯度更新參數值”四個部分反覆執行，直到到達參數最優點。具體代碼如下所示。

class Network(object):
    def __init__(self, num_of_weights):
        # 隨機產生w的初始值
        # 爲了保持程序每次運行結果的一致性，此處設置固定的隨機數種子
        np.random.seed(0)
        self.w = np.random.randn(num_of_weights, 1)
        self.b = 0.
        
    def forward(self, x):
        z = np.dot(x, self.w) + self.b
        return z
    
    def loss(self, z, y):
        error = z - y
        num_samples = error.shape[0]
        cost = error * error
        cost = np.sum(cost) / num_samples
        return cost
    
    def gradient(self, x, y):
        z = self.forward(x)
        gradient_w = (z-y)*x
        gradient_w = np.mean(gradient_w, axis=0)
        gradient_w = gradient_w[:, np.newaxis]
        gradient_b = (z - y)
        gradient_b = np.mean(gradient_b)        
        return gradient_w, gradient_b
    
    def update(self, gradient_w, gradient_b, eta = 0.01):
        self.w = self.w - eta * gradient_w
        self.b = self.b - eta * gradient_b
        
    def train(self, x, y, iterations=100, eta=0.01):
        losses = []
        for i in range(iterations):
            z = self.forward(x)
            L = self.loss(z, y)
            gradient_w, gradient_b = self.gradient(x, y)
            self.update(gradient_w, gradient_b, eta)
            losses.append(L)
            if (i+1) % 10 == 0:
                print('iter {}, loss {}'.format(i, L))
        return losses

# 獲取數據
train_data, test_data = load_data()
x = train_data[:, :-1]
y = train_data[:, -1:]
# 創建網絡
net = Network(13)
num_iterations=1000
# 啓動訓練
losses = net.train(x,y, iterations=num_iterations, eta=0.01)

# 畫出損失函數的變化趨勢
plot_x = np.arange(num_iterations)
plot_y = np.array(losses)
plt.plot(plot_x, plot_y)
plt.show()

iter 9, loss 1.8984947314576224
iter 19, loss 1.8031783384598725
iter 29, loss 1.7135517565541092
iter 39, loss 1.6292649416831264
iter 49, loss 1.5499895293373231
iter 59, loss 1.4754174896452612
iter 69, loss 1.4052598659324693
iter 79, loss 1.3392455915676864
iter 89, loss 1.2771203802372915
iter 99, loss 1.218645685090292
iter 109, loss 1.1635977224791534
iter 119, loss 1.111766556287068
iter 129, loss 1.0629552390811503
iter 139, loss 1.0169790065644477
iter 149, loss 0.9736645220185994
iter 159, loss 0.9328491676343147
iter 169, loss 0.8943803798194307
iter 179, loss 0.8581150257549611
iter 189, loss 0.8239188186389669
iter 199, loss 0.7916657692169988
iter 209, loss 0.761237671346902
iter 219, loss 0.7325236194855752
iter 229, loss 0.7054195561163928
iter 239, loss 0.6798278472589763
iter 249, loss 0.6556568843183528
iter 259, loss 0.6328207106387195
iter 269, loss 0.6112386712285092
iter 279, loss 0.59083508421862
iter 289, loss 0.5715389327049418
iter 299, loss 0.5532835757100347
iter 309, loss 0.5360064770773406
iter 319, loss 0.5196489511849665
iter 329, loss 0.5041559244351539
iter 339, loss 0.48947571154034963
iter 349, loss 0.47555980568755696
iter 359, loss 0.46236268171965056
iter 369, loss 0.44984161152579916
iter 379, loss 0.43795649088328303
iter 389, loss 0.4266696770400226
iter 399, loss 0.41594583637124666
iter 409, loss 0.4057518014851036
iter 419, loss 0.3960564371908221
iter 429, loss 0.38683051477942226
iter 439, loss 0.3780465941011246
iter 449, loss 0.3696789129556087
iter 459, loss 0.3617032833413179
iter 469, loss 0.3540969941381648
iter 479, loss 0.3468387198244131
iter 489, loss 0.3399084348532937
iter 499, loss 0.33328733333814486
iter 509, loss 0.3269577537166779
iter 519, loss 0.32090310808539985
iter 529, loss 0.3151078159144129
iter 539, loss 0.30955724187078903
iter 549, loss 0.3042376374955925
iter 559, loss 0.2991360864954391
iter 569, loss 0.2942404534243286
iter 579, loss 0.2895393355454012
iter 589, loss 0.28502201767532415
iter 599, loss 0.28067842982626157
iter 609, loss 0.27649910747186535
iter 619, loss 0.2724751542744919
iter 629, loss 0.2685982071209627
iter 639, loss 0.26486040332365085
iter 649, loss 0.2612543498525749
iter 659, loss 0.2577730944725093
iter 669, loss 0.2544100986669443
iter 679, loss 0.2511592122380609
iter 689, loss 0.2480146494787638
iter 699, loss 0.24497096681926708
iter 709, loss 0.2420230418567802
iter 719, loss 0.23916605368251415
iter 729, loss 0.23639546442555454
iter 739, loss 0.23370700193813704
iter 749, loss 0.2310966435515475
iter 759, loss 0.2285606008362593
iter 769, loss 0.22609530530403904
iter 779, loss 0.22369739499361888
iter 789, loss 0.2213637018851542
iter 799, loss 0.21909124009208833
iter 809, loss 0.21687719478222933
iter 819, loss 0.21471891178284025
iter 829, loss 0.21261388782734392
iter 839, loss 0.2105597614038757
iter 849, loss 0.20855430416838638
iter 859, loss 0.20659541288730932
iter 869, loss 0.20468110187697833
iter 879, loss 0.2028094959090178
iter 889, loss 0.20097882355283644
iter 899, loss 0.19918741092814596
iter 909, loss 0.19743367584210875
iter 919, loss 0.1957161222872899
iter 929, loss 0.19403333527807176
iter 939, loss 0.19238397600456975
iter 949, loss 0.19076677728439412
iter 959, loss 0.1891805392938162
iter 969, loss 0.18762412556104593
iter 979, loss 0.18609645920539716
iter 989, loss 0.18459651940712488
iter 999, loss 0.18312333809366155

隨機梯度下降法（ Stochastic Gradient Descent）

在上述程序中，每次損失函數和梯度計算都是基於數據集中的全量數據。對於波士頓房價預測任務數據集而言，樣本數比較少，只有404個。但在實際問題中，數據集往往非常大，如果每次都使用全量數據進行計算，效率非常低，通俗的說就是“殺雞焉用牛刀”。由於參數每次只沿着梯度反方向更新一點點，因此方向並不需要那麼精確。一個合理的解決方案是每次從總的數據集中隨機抽取出小部分數據來代表整體，基於這部分數據計算梯度和損失來更新參數，這種方法被稱作隨機梯度下降法（Stochastic Gradient Descent，SGD），核心概念如下：

• min-batch：每次迭代時抽取出來的一批數據被稱爲一個min-batch。
• batch_size：一個mini-batch所包含的樣本數目稱爲batch_size。
• epoch：當程序迭代的時候，按mini-batch逐漸抽取出樣本，當把整個數據集都遍歷到了的時候，則完成了一輪的訓練，也叫一個epoch。啓動訓練時，可以將訓練的輪數num_epochs和batch_size作爲參數傳入。

下面結合程序介紹具體的實現過程，涉及到數據處理和訓練過程兩部分代碼的修改。

數據處理代碼修改

數據處理需要實現拆分數據批次和樣本亂序（爲了實現隨機抽樣的效果）兩個功能。

# 獲取數據
train_data, test_data = load_data()
train_data.shape

(404, 14)

train_data中一共包含404條數據，如果batch_size=10，即取前0-9號樣本作爲第一個mini-batch，命名train_data1。

train_data1 = train_data[0:10]
train_data1.shape

(10, 14)

使用train_data1的數據（0-9號樣本）計算梯度並更新網絡參數。

net = Network(13)
x = train_data1[:, :-1]
y = train_data1[:, -1:]
loss = net.train(x, y, iterations=1, eta=0.01)
loss

[0.9001866101467375]

再取出10-19號樣本作爲第二個mini-batch，計算梯度並更新網絡參數。

train_data2 = train_data[10:19]
x = train_data1[:, :-1]
y = train_data1[:, -1:]
loss = net.train(x, y, iterations=1, eta=0.01)
loss

[0.8903272433979657]

按此方法不斷的取出新的mini-batch，並逐漸更新網絡參數。

接下來，將train_data分成大小爲batch_size的多個mini_batch，如下代碼所示：將train_data分成
$\frac{404}{10} + 1 = 41$
個 mini_batch了，其中前40個mini_batch，每個均含有10個樣本，最後一個mini_batch只含有4個樣本。

batch_size = 10
n = len(train_data)
mini_batches = [train_data[k:k+batch_size] for k in range(0, n, batch_size)]
print('total number of mini_batches is ', len(mini_batches))
print('first mini_batch shape ', mini_batches[0].shape)
print('last mini_batch shape ', mini_batches[-1].shape)

total number of mini_batches is  41
first mini_batch shape  (10, 14)
last mini_batch shape  (4, 14)

另外，我們這裏是按順序取出mini_batch的，而SGD裏面是隨機的抽取一部分樣本代表總體。爲了實現隨機抽樣的效果，我們先將train_data裏面的樣本順序隨機打亂，然後再抽取mini_batch。隨機打亂樣本順序，需要用到np.random.shuffle函數，下面先介紹它的用法。

---

說明：

通過大量實驗發現，模型對最後出現的數據印象更加深刻。訓練數據導入後，越接近模型訓練結束，最後幾個批次數據對模型參數的影響越大。爲了避免模型記憶影響訓練效果，需要進行樣本亂序操作。

---

# 新建一個array
a = np.array([1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12])
print('before shuffle', a)
np.random.shuffle(a)
print('after shuffle', a)

before shuffle [ 1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12]
after shuffle [ 7  2 11  3  8  6 12  1  4  5 10  9]

多次運行上面的代碼，可以發現每次執行shuffle函數後的數字順序均不同。
上面舉的是一個1維數組亂序的案例，我們在觀察下2維數組亂序後的效果。

# 新建一個array
a = np.array([1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12])
a = a.reshape([6, 2])
print('before shuffle\n', a)
np.random.shuffle(a)
print('after shuffle\n', a)

before shuffle
 [[ 1  2]
 [ 3  4]
 [ 5  6]
 [ 7  8]
 [ 9 10]
 [11 12]]
after shuffle
 [[ 1  2]
 [ 3  4]
 [ 5  6]
 [ 9 10]
 [11 12]
 [ 7  8]]

觀察運行結果可發現，數組的元素在第0維被隨機打亂，但第1維的順序保持不變。例如數字2仍然緊挨在數字1的後面，數字8仍然緊挨在數字7的後面，而第二維的[3, 4]並不排在[1, 2]的後面。將這部分實現SGD算法的代碼集成到Network類中的train函數中，最終的完整代碼如下。

# 獲取數據
train_data, test_data = load_data()

# 打亂樣本順序
np.random.shuffle(train_data)

# 將train_data分成多個mini_batch
batch_size = 10
n = len(train_data)
mini_batches = [train_data[k:k+batch_size] for k in range(0, n, batch_size)]

# 創建網絡
net = Network(13)

# 依次使用每個mini_batch的數據
for mini_batch in mini_batches:
    x = mini_batch[:, :-1]
    y = mini_batch[:, -1:]
    loss = net.train(x, y, iterations=1)

訓練過程代碼修改

將每個隨機抽取的mini-batch數據輸入到模型中用於參數訓練。訓練過程的核心是兩層循環：

1. 第一層循環，代表樣本集合要被訓練遍歷幾次，稱爲“epoch”，代碼如下：

for epoch_id in range(num_epoches):

2. 第二層循環，代表每次遍歷時，樣本集合被拆分成的多個批次，需要全部執行訓練，稱爲“iter (iteration)”，

代碼如下：for iter_id,mini_batch in emumerate(mini_batches):

在兩層循環的內部是經典的四步訓練流程：前向計算->計算損失->計算梯度->更新參數，這與大家之前所學是一致的，代碼如下：

            x = mini_batch[:, :-1]
            y = mini_batch[:, -1:]
            a = self.forward(x)  #前向計算
            loss = self.loss(a, y)  #計算損失
            gradient_w, gradient_b = self.gradient(x, y)  #計算梯度
            self.update(gradient_w, gradient_b, eta)  #更新參數

將兩部分改寫的代碼集成到Network類中的train函數中，最終的實現如下。

import numpy as np

class Network(object):
    def __init__(self, num_of_weights):
        # 隨機產生w的初始值
        # 爲了保持程序每次運行結果的一致性，此處設置固定的隨機數種子
        #np.random.seed(0)
        self.w = np.random.randn(num_of_weights, 1)
        self.b = 0.
        
    def forward(self, x):
        z = np.dot(x, self.w) + self.b
        return z
    
    def loss(self, z, y):
        error = z - y
        num_samples = error.shape[0]
        cost = error * error
        cost = np.sum(cost) / num_samples
        return cost
    
    def gradient(self, x, y):
        z = self.forward(x)
        N = x.shape[0]
        gradient_w = 1. / N * np.sum((z-y) * x, axis=0)
        gradient_w = gradient_w[:, np.newaxis]
        gradient_b = 1. / N * np.sum(z-y)
        return gradient_w, gradient_b
    
    def update(self, gradient_w, gradient_b, eta = 0.01):
        self.w = self.w - eta * gradient_w
        self.b = self.b - eta * gradient_b
            
                
    def train(self, training_data, num_epoches, batch_size=10, eta=0.01):
        n = len(training_data)
        losses = []
        for epoch_id in range(num_epoches):
            # 在每輪迭代開始之前，將訓練數據的順序隨機的打亂，
            # 然後再按每次取batch_size條數據的方式取出
            np.random.shuffle(training_data)
            # 將訓練數據進行拆分，每個mini_batch包含batch_size條的數據
            mini_batches = [training_data[k:k+batch_size] for k in range(0, n, batch_size)]
            for iter_id, mini_batch in enumerate(mini_batches):
                #print(self.w.shape)
                #print(self.b)
                x = mini_batch[:, :-1]
                y = mini_batch[:, -1:]
                a = self.forward(x)
                loss = self.loss(a, y)
                gradient_w, gradient_b = self.gradient(x, y)
                self.update(gradient_w, gradient_b, eta)
                losses.append(loss)
                print('Epoch {:3d} / iter {:3d}, loss = {:.4f}'.
                                 format(epoch_id, iter_id, loss))
        
        return losses

# 獲取數據
train_data, test_data = load_data()

# 創建網絡
net = Network(13)
# 啓動訓練
losses = net.train(train_data, num_epoches=50, batch_size=100, eta=0.1)

# 畫出損失函數的變化趨勢
plot_x = np.arange(len(losses))
plot_y = np.array(losses)
plt.plot(plot_x, plot_y)
plt.show()

Epoch   0 / iter   0, loss = 0.6273
Epoch   0 / iter   1, loss = 0.4835
Epoch   0 / iter   2, loss = 0.5830
Epoch   0 / iter   3, loss = 0.5466
Epoch   0 / iter   4, loss = 0.2147
Epoch   1 / iter   0, loss = 0.6645
Epoch   1 / iter   1, loss = 0.4875
Epoch   1 / iter   2, loss = 0.4707
Epoch   1 / iter   3, loss = 0.4153
Epoch   1 / iter   4, loss = 0.1402
Epoch   2 / iter   0, loss = 0.5897
Epoch   2 / iter   1, loss = 0.4373
Epoch   2 / iter   2, loss = 0.4631
Epoch   2 / iter   3, loss = 0.3960
Epoch   2 / iter   4, loss = 0.2340
Epoch   3 / iter   0, loss = 0.4139
Epoch   3 / iter   1, loss = 0.5635
Epoch   3 / iter   2, loss = 0.3807
Epoch   3 / iter   3, loss = 0.3975
Epoch   3 / iter   4, loss = 0.1207
Epoch   4 / iter   0, loss = 0.3786
Epoch   4 / iter   1, loss = 0.4474
Epoch   4 / iter   2, loss = 0.4019
Epoch   4 / iter   3, loss = 0.4352
Epoch   4 / iter   4, loss = 0.0435
Epoch   5 / iter   0, loss = 0.4387
Epoch   5 / iter   1, loss = 0.3886
Epoch   5 / iter   2, loss = 0.3182
Epoch   5 / iter   3, loss = 0.4189
Epoch   5 / iter   4, loss = 0.1741
Epoch   6 / iter   0, loss = 0.3191
Epoch   6 / iter   1, loss = 0.3601
Epoch   6 / iter   2, loss = 0.4199
Epoch   6 / iter   3, loss = 0.3289
Epoch   6 / iter   4, loss = 1.2691
Epoch   7 / iter   0, loss = 0.3202
Epoch   7 / iter   1, loss = 0.2855
Epoch   7 / iter   2, loss = 0.4129
Epoch   7 / iter   3, loss = 0.3331
Epoch   7 / iter   4, loss = 0.2218
Epoch   8 / iter   0, loss = 0.2368
Epoch   8 / iter   1, loss = 0.3457
Epoch   8 / iter   2, loss = 0.3339
Epoch   8 / iter   3, loss = 0.3812
Epoch   8 / iter   4, loss = 0.0534
Epoch   9 / iter   0, loss = 0.3567
Epoch   9 / iter   1, loss = 0.4033
Epoch   9 / iter   2, loss = 0.1926
Epoch   9 / iter   3, loss = 0.2803
Epoch   9 / iter   4, loss = 0.1557
Epoch  10 / iter   0, loss = 0.3435
Epoch  10 / iter   1, loss = 0.2790
Epoch  10 / iter   2, loss = 0.3456
Epoch  10 / iter   3, loss = 0.2076
Epoch  10 / iter   4, loss = 0.0935
Epoch  11 / iter   0, loss = 0.3024
Epoch  11 / iter   1, loss = 0.2517
Epoch  11 / iter   2, loss = 0.2797
Epoch  11 / iter   3, loss = 0.2989
Epoch  11 / iter   4, loss = 0.0301
Epoch  12 / iter   0, loss = 0.2507
Epoch  12 / iter   1, loss = 0.2563
Epoch  12 / iter   2, loss = 0.2971
Epoch  12 / iter   3, loss = 0.2833
Epoch  12 / iter   4, loss = 0.0597
Epoch  13 / iter   0, loss = 0.2827
Epoch  13 / iter   1, loss = 0.2094
Epoch  13 / iter   2, loss = 0.2417
Epoch  13 / iter   3, loss = 0.2985
Epoch  13 / iter   4, loss = 0.4036
Epoch  14 / iter   0, loss = 0.3085
Epoch  14 / iter   1, loss = 0.2015
Epoch  14 / iter   2, loss = 0.1830
Epoch  14 / iter   3, loss = 0.2978
Epoch  14 / iter   4, loss = 0.0630
Epoch  15 / iter   0, loss = 0.2342
Epoch  15 / iter   1, loss = 0.2780
Epoch  15 / iter   2, loss = 0.2571
Epoch  15 / iter   3, loss = 0.1838
Epoch  15 / iter   4, loss = 0.0627
Epoch  16 / iter   0, loss = 0.1896
Epoch  16 / iter   1, loss = 0.1966
Epoch  16 / iter   2, loss = 0.2018
Epoch  16 / iter   3, loss = 0.3257
Epoch  16 / iter   4, loss = 0.1268
Epoch  17 / iter   0, loss = 0.1990
Epoch  17 / iter   1, loss = 0.2031
Epoch  17 / iter   2, loss = 0.2662
Epoch  17 / iter   3, loss = 0.2128
Epoch  17 / iter   4, loss = 0.0133
Epoch  18 / iter   0, loss = 0.1780
Epoch  18 / iter   1, loss = 0.1575
Epoch  18 / iter   2, loss = 0.2547
Epoch  18 / iter   3, loss = 0.2544
Epoch  18 / iter   4, loss = 0.2007
Epoch  19 / iter   0, loss = 0.1657
Epoch  19 / iter   1, loss = 0.2000
Epoch  19 / iter   2, loss = 0.2045
Epoch  19 / iter   3, loss = 0.2524
Epoch  19 / iter   4, loss = 0.0632
Epoch  20 / iter   0, loss = 0.1629
Epoch  20 / iter   1, loss = 0.1895
Epoch  20 / iter   2, loss = 0.2523
Epoch  20 / iter   3, loss = 0.1896
Epoch  20 / iter   4, loss = 0.0918
Epoch  21 / iter   0, loss = 0.1583
Epoch  21 / iter   1, loss = 0.2322
Epoch  21 / iter   2, loss = 0.1567
Epoch  21 / iter   3, loss = 0.2089
Epoch  21 / iter   4, loss = 0.2035
Epoch  22 / iter   0, loss = 0.2273
Epoch  22 / iter   1, loss = 0.1427
Epoch  22 / iter   2, loss = 0.1712
Epoch  22 / iter   3, loss = 0.1826
Epoch  22 / iter   4, loss = 0.2878
Epoch  23 / iter   0, loss = 0.1685
Epoch  23 / iter   1, loss = 0.1622
Epoch  23 / iter   2, loss = 0.1499
Epoch  23 / iter   3, loss = 0.2329
Epoch  23 / iter   4, loss = 0.1486
Epoch  24 / iter   0, loss = 0.1617
Epoch  24 / iter   1, loss = 0.2083
Epoch  24 / iter   2, loss = 0.1442
Epoch  24 / iter   3, loss = 0.1740
Epoch  24 / iter   4, loss = 0.1641
Epoch  25 / iter   0, loss = 0.1159
Epoch  25 / iter   1, loss = 0.2064
Epoch  25 / iter   2, loss = 0.1690
Epoch  25 / iter   3, loss = 0.1778
Epoch  25 / iter   4, loss = 0.0159
Epoch  26 / iter   0, loss = 0.1730
Epoch  26 / iter   1, loss = 0.1861
Epoch  26 / iter   2, loss = 0.1387
Epoch  26 / iter   3, loss = 0.1486
Epoch  26 / iter   4, loss = 0.1090
Epoch  27 / iter   0, loss = 0.1393
Epoch  27 / iter   1, loss = 0.1775
Epoch  27 / iter   2, loss = 0.1564
Epoch  27 / iter   3, loss = 0.1245
Epoch  27 / iter   4, loss = 0.7611
Epoch  28 / iter   0, loss = 0.1470
Epoch  28 / iter   1, loss = 0.1211
Epoch  28 / iter   2, loss = 0.1285
Epoch  28 / iter   3, loss = 0.1854
Epoch  28 / iter   4, loss = 0.5240
Epoch  29 / iter   0, loss = 0.1740
Epoch  29 / iter   1, loss = 0.0898
Epoch  29 / iter   2, loss = 0.1392
Epoch  29 / iter   3, loss = 0.1842
Epoch  29 / iter   4, loss = 0.0251
Epoch  30 / iter   0, loss = 0.0978
Epoch  30 / iter   1, loss = 0.1529
Epoch  30 / iter   2, loss = 0.1640
Epoch  30 / iter   3, loss = 0.1503
Epoch  30 / iter   4, loss = 0.0975
Epoch  31 / iter   0, loss = 0.1399
Epoch  31 / iter   1, loss = 0.1595
Epoch  31 / iter   2, loss = 0.1209
Epoch  31 / iter   3, loss = 0.1203
Epoch  31 / iter   4, loss = 0.2008
Epoch  32 / iter   0, loss = 0.1501
Epoch  32 / iter   1, loss = 0.1310
Epoch  32 / iter   2, loss = 0.1065
Epoch  32 / iter   3, loss = 0.1489
Epoch  32 / iter   4, loss = 0.0818
Epoch  33 / iter   0, loss = 0.1401
Epoch  33 / iter   1, loss = 0.1367
Epoch  33 / iter   2, loss = 0.0970
Epoch  33 / iter   3, loss = 0.1481
Epoch  33 / iter   4, loss = 0.0711
Epoch  34 / iter   0, loss = 0.1157
Epoch  34 / iter   1, loss = 0.1050
Epoch  34 / iter   2, loss = 0.1378
Epoch  34 / iter   3, loss = 0.1505
Epoch  34 / iter   4, loss = 0.0429
Epoch  35 / iter   0, loss = 0.1096
Epoch  35 / iter   1, loss = 0.1279
Epoch  35 / iter   2, loss = 0.1715
Epoch  35 / iter   3, loss = 0.0888
Epoch  35 / iter   4, loss = 0.0473
Epoch  36 / iter   0, loss = 0.1350
Epoch  36 / iter   1, loss = 0.0781
Epoch  36 / iter   2, loss = 0.1458
Epoch  36 / iter   3, loss = 0.1288
Epoch  36 / iter   4, loss = 0.0421
Epoch  37 / iter   0, loss = 0.1083
Epoch  37 / iter   1, loss = 0.0972
Epoch  37 / iter   2, loss = 0.1513
Epoch  37 / iter   3, loss = 0.1236
Epoch  37 / iter   4, loss = 0.0366
Epoch  38 / iter   0, loss = 0.1204
Epoch  38 / iter   1, loss = 0.1341
Epoch  38 / iter   2, loss = 0.1109
Epoch  38 / iter   3, loss = 0.0905
Epoch  38 / iter   4, loss = 0.3906
Epoch  39 / iter   0, loss = 0.0923
Epoch  39 / iter   1, loss = 0.1094
Epoch  39 / iter   2, loss = 0.1295
Epoch  39 / iter   3, loss = 0.1239
Epoch  39 / iter   4, loss = 0.0684
Epoch  40 / iter   0, loss = 0.1188
Epoch  40 / iter   1, loss = 0.0984
Epoch  40 / iter   2, loss = 0.1067
Epoch  40 / iter   3, loss = 0.1057
Epoch  40 / iter   4, loss = 0.4602
Epoch  41 / iter   0, loss = 0.1478
Epoch  41 / iter   1, loss = 0.0980
Epoch  41 / iter   2, loss = 0.0921
Epoch  41 / iter   3, loss = 0.1020
Epoch  41 / iter   4, loss = 0.0430
Epoch  42 / iter   0, loss = 0.0991
Epoch  42 / iter   1, loss = 0.0994
Epoch  42 / iter   2, loss = 0.1270
Epoch  42 / iter   3, loss = 0.0988
Epoch  42 / iter   4, loss = 0.1176
Epoch  43 / iter   0, loss = 0.1286
Epoch  43 / iter   1, loss = 0.1013
Epoch  43 / iter   2, loss = 0.1066
Epoch  43 / iter   3, loss = 0.0779
Epoch  43 / iter   4, loss = 0.1481
Epoch  44 / iter   0, loss = 0.0840
Epoch  44 / iter   1, loss = 0.0858
Epoch  44 / iter   2, loss = 0.1388
Epoch  44 / iter   3, loss = 0.1000
Epoch  44 / iter   4, loss = 0.0313
Epoch  45 / iter   0, loss = 0.0896
Epoch  45 / iter   1, loss = 0.1173
Epoch  45 / iter   2, loss = 0.0916
Epoch  45 / iter   3, loss = 0.1043
Epoch  45 / iter   4, loss = 0.0074
Epoch  46 / iter   0, loss = 0.1008
Epoch  46 / iter   1, loss = 0.0915
Epoch  46 / iter   2, loss = 0.0877
Epoch  46 / iter   3, loss = 0.1139
Epoch  46 / iter   4, loss = 0.0292
Epoch  47 / iter   0, loss = 0.0679
Epoch  47 / iter   1, loss = 0.0987
Epoch  47 / iter   2, loss = 0.0929
Epoch  47 / iter   3, loss = 0.1098
Epoch  47 / iter   4, loss = 0.4838
Epoch  48 / iter   0, loss = 0.0693
Epoch  48 / iter   1, loss = 0.1095
Epoch  48 / iter   2, loss = 0.1128
Epoch  48 / iter   3, loss = 0.0890
Epoch  48 / iter   4, loss = 0.1008
Epoch  49 / iter   0, loss = 0.0724
Epoch  49 / iter   1, loss = 0.0804
Epoch  49 / iter   2, loss = 0.0919
Epoch  49 / iter   3, loss = 0.1233
Epoch  49 / iter   4, loss = 0.1849

觀察上述Loss的變化，隨機梯度下降加快了訓練過程，但由於每次僅基於少量樣本更新參數和計算損失，所以損失下降曲線會出現震盪。

---

說明：

由於房價預測的數據量過少，所以難以感受到隨機梯度下降帶來的性能提升。

---

總結

本節，我們詳細講解了如何使用Numpy實現梯度下降算法，構建並訓練了一個簡單的線性模型實現波士頓房價預測，可以總結出，使用神經網絡建模房價預測有三個要點：

• 構建網絡，初始化參數w和b，定義預測和損失函數的計算方法。
• 隨機選擇初始點，建立梯度的計算方法和參數更新方式。
• 從總的數據集中抽取部分數據作爲一個mini_batch，計算梯度並更新參數，不斷迭代直到損失函數幾乎不再下降。

作業1-2

1. 樣本歸一化：預測時的樣本數據同樣也需要歸一化，但使用訓練樣本的均值和極值計算，這是爲什麼？

2. 當部分參數的梯度計算爲0（接近0）時，可能是什麼情況？是否意味着完成訓練？

作業 1-3

1. 隨機梯度下降的batchsize設置成多少合適？過小有什麼問題？過大有什麼問題？提示：過大以整個樣本集合爲例，過小以單個樣本爲例來思考。
2. 一次訓練使用的配置：5個epoch，1000個樣本，batchsize=20，最內層循環執行多少輪？

作業1-4

基本知識

1. 求導的鏈式法則

鏈式法則是微積分中的求導法則，用於求一個複合函數的導數，是在微積分的求導運算中一種常用的方法。複合函數的導數將是構成複合這有限個函數在相應點的導數的乘積，就像鎖鏈一樣一環套一環，故稱鏈式法則。如 圖9 所示，如果求最終輸出對內層輸入（第一層）的梯度，等於外層梯度（第二層）乘以本層函數的梯度。

圖9：求導的鏈式法則

2. 計算圖的概念

（1）爲何是反向計算梯度？即梯度是由網絡後端向前端計算。當前層的梯度要依據處於網絡中後一層的梯度來計算，所以只有先算後一層的梯度才能計算本層的梯度。

（2）案例：購買蘋果產生消費的計算圖。假設一家商店9折促銷蘋果，每個的單價100元。計算一個顧客總消費的結構如 圖10 所示。

圖10：購買蘋果所產生的消費計算圖

• 前向計算過程：以黑色箭頭表示，顧客購買了2個蘋果，再加上九折的折扣，一共消費100*2*0.9=180元。
• 後向傳播過程：以紅色箭頭表示，根據鏈式法則，本層的梯度計算 * 後一層傳遞過來的梯度，所以需從後向前計算。

最後一層的輸出對自身的求導爲1。導數第二層根據 圖11 所示的乘法求導的公式，分別爲0.9*1和200*1。同樣的，第三層爲100 * 0.9=90，2 * 0.9=1.8。

圖11：乘法求導的公式

作業題

1. 根據 圖12 所示的乘法和加法的導數公式，完成 圖13 購買蘋果和橘子的梯度傳播的題目。

圖12：乘法和加法的導數公式

圖13：購買蘋果和橘子產生消費的計算圖

2. 挑戰題：用代碼實現兩層的神經網絡的梯度傳播，中間層的尺寸爲13【房價預測案例】（教案當前的版本爲一層的神經網絡），如 圖14 所示。

圖14：兩層的神經網絡