卷积到底是怎么【卷】的

卷积，这个词大家应该都不陌生，数学中傅立叶变换的时候，物理中信号处理的时候，图像处理中滤波的时候、提取边缘的时候，还有深度学习中卷积神经网络的时候，处处可见卷积的影子。卷积在图像处理中的应用非常广泛，可以说理解了卷积，就可以理解图像处理算法的半壁江山，也不知道这个说法是否夸张了。

但是都说卷积卷积，那卷积到底是怎么个卷法呢？本文尝试解答这一问题。

理解的卷积计算过程

想要理解卷积，一些必要的数学公式是少不了的，放心吧，就下面这一个公式了，所有讨论围绕这一个公式展开。

我们从维基百科中对于卷积的解释引入：

设：$f(x)$,$g(x)$ 是 $R$上的两个可积函数，作积分：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(x-\tau )\,\mathrm {d} \tau }$

可以证明，关于几乎所有的 ${\displaystyle x\in (-\infty ,\infty )} $，上述积分是存在的。这样，随着 ${\displaystyle x}$ 的不同取值，这个积分就定义了一个新函数$ {\displaystyle h(x)}$ ，称为函数 ${\displaystyle f}$ 与 ${\displaystyle g}$的卷积，记为 ${\displaystyle h(x)=(f*g)(x)}$。

我们提取下重点公式写在下面，记为公式1：

${\displaystyle h(x)=(f*g)(x)} = {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(x-\tau )\,\mathrm {d} \tau }\tag{1}$

以上公式1最令人迷惑也是最需要注意的部分在于，在等式的左边，自变量是$x$，然而等式的右边自变量却变成了$\tau$，更令人疑惑的是——右边自变量不是$x$是$\tau$也就算了,竟然还出现了一个$x$。

那么问题来了，$x$和$\tau$，到底哪个在变？还是两个都在变？如果是都在变，那到底是怎么个变法？

这些问题还是需要慢慢道来。我们先看一个卷积稍微通俗一点的解释。

卷积

（1）即是通过两个函数$f$和$g$生成第三个函数的一种数学算子。

（2）表征函数f与经过翻转和平移的g的乘积函数所围成的的曲边梯形的面积。

上面两句话都非常重要，我们从第二句话开始看，第二句话中包含了以下四个重点信息：

• 翻转
• 平移
• 乘积
• 积分（函数围成的面积不就是积分么？）

我们一个一个来看。先看右边，我们不妨先令$x=x_0$， 也就是$x$不变而$\tau$变的情况。于是公式1就变成了公式2：

${\displaystyle h(x_0)=(f*g)(x_0)} = {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(x_0-\tau )\,\mathrm {d} \tau }\tag{2}$

1. 翻转

先看翻转，怎么翻转一个函数呢，想一下最简单的$f(\tau)=\tau$，不难发现，$f(\tau)$翻转之后即为$f(-\tau)$。我用Python画出了这俩函数的图像，看起来更为直观。

2. 平移

然后看一下一个函数如何平移，仍然以$f(\tau)=\tau$为例，回一下我们中学学过的数学知识，也许还能记起来，$f(x_0-\tau)$就是由$f(-\tau)$向右平移$x_0$得到的。我们仍然以图说话，用Python作图如下，$x_0$分别取值为$20,40,60,80$。

3. 乘积

现在我们只看公式的右边部分：

KaTeX parse error: \tag works only in display equations

现在我们可以知道$g(x_0-\tau)$就是$g(\tau)$翻转之后又向右平移了$x_0$个单位。这时候需要考虑另一个函数$f(\tau)$了。这里 我们继续举个例子，不妨令$f(\tau)=sin(\frac{\tau}{10})$。

我们继续用Python画出$f(\tau )g(x_0-\tau )$如下图所示：

4. 积分

现在是较为完整的公式3的样子了，这里为了能够更好地表达，我们把区间从$(-\infty ,\infty )$改为$(-50,50)$，即画出

KaTeX parse error: \tag works only in display equations

注意了，在上面的所有过程中，$x$一直是不变的，变的是$\tau$。即我们上面一直是在做的是公式2右边的计算，公式2如下：

${\displaystyle h(x_0)=(f*g)(x_0)} = {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(x_0-\tau )\,\mathrm {d} \tau }\tag{2}$

不论$\tau$怎么变化，最后一旦积分，等式右边就成了一个确定的数字，一个常量。一个$x$对应一个$y$嘛。此时我们可以继续看公式左边了，我们直接看公式1：

${\displaystyle h(x)=(f*g)(x)} = {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(x-\tau )\,\mathrm {d} \tau }\tag{1}$

左边换下位置我们也许会更好理解，即${\displaystyle (f*g)(x) = h(x)}$。也即之前提到的一句话：卷积即是通过两个函数$f$和$g$生成第三个函数的一种数学算子。

总结一下，卷积计算过程可以分解为四步：翻转、平移、乘积、积分。

卷积为什么叫“卷积”？

1. 卷积之【卷】

那么问题来了？卷积为什么要叫“卷积”呢？换言之，卷积之“卷”和卷积之“积”分别是什么含义？

这里想像一下如果我们要卷起一张A4纸，需要怎么做？

（1）首先我们需要提起对着自己一条边，向上翻转使之对着自己身体前方——翻转！

（2）然后继续向下打个圈之后，就可以向前推了——平移！

看到没？翻转！平移！

你肯定还记得上面说的卷积计算的四个过程：翻转、平移、乘积、积分。卷积之“卷”，你明白了吗？

本文完

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什么？还不能走？把画图的源码交出来？

# coding:utf-8  
""" 
Author:  CVPy-冰不语
Date:    2019/11/26
"""  
  
import numpy as np  
import matplotlib.pyplot as plt  


# 定义函数f(x)
def f(x):
    """$f\ (\\tau)$"""
    return x


# 定义函数g(x)
def g(x):
    """$f(x)=sin(x)$"""
    return np.sin(x/10)


# 设置座标系
def set_ax(ax):
    ax.spines['top'].set_color('none')
    ax.spines['right'].set_color('none')
    ax.spines['bottom'].set_color('deepskyblue')
    ax.spines['left'].set_color('deepskyblue')

    ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')
    ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0))
    ax.yaxis.set_ticks_position('left')
    ax.spines['left'].set_position(('data', 0))

    ax.set_xticks(np.arange(-100,101, 50))
    # ax.set_yticks(np.arange(-100,101, 50))

    return ax


if __name__ == "__main__":
    # x的取值范围
    x = np.arange(-100, 100, 0.1)

    # ---------第一幅图：f(x)和f(-x)----------
    fig = plt.figure(figsize=(6, 6))

    # 左边画f(x)
    ax1 = fig.add_subplot(121)
    ax1 = set_ax(ax1)
    ax1.plot(x, f(x), 'orange', label=f.__doc__)
    plt.legend(loc="upper left", bbox_to_anchor=[0, 1],
               ncol=1, fancybox=True)

    # 右边画f(-x)
    ax2 = fig.add_subplot(122)
    ax2 = set_ax(ax2)
    plt.plot(x, f(-x), 'orange', label="$f\ (-\\tau)$")
    plt.legend(loc="upper right", bbox_to_anchor=[1, 1],
               ncol=1, fancybox=True)
    plt.show()

    # ---------第二幅图：f(t-x)----------
    fig2 = plt.figure(figsize=(6, 6))
    ax3 = fig2.add_subplot(111)

    ax3 = set_ax(ax3)
    ax3.set_xticks(np.arange(-100, 101, 20))
    ax3.set_yticks(np.arange(-100, 181, 20))

    for t in [20, 40, 60, 80]:
        plt.plot(x, f(t-x), label="$f\ (x_0 - \\tau) \ \ x_0={0}$".format(t))
    plt.legend(loc="upper right", bbox_to_anchor=[1, 1], ncol=1, fancybox=True)

    plt.show()

    # ---------第三幅图：g(x) * f(t-x)----------
    t = 80


    def f_mul_g(x, t):
        """$f(\\tau-x)*g(\\tau)$"""
        return f(t-x)*g(x)

    fig3, ax4 = plt.subplots()

    ax4 = set_ax(ax4)
    ax4.set_xticks(np.arange(-100,101, 20))
    # ax4.set_yticks(np.arange(-100,181, 20))

    plt.plot(x, f_mul_g(x, t), label=f_mul_g.__doc__)
    plt.legend(loc="upper right", bbox_to_anchor=[1, 1], ncol=1, fancybox=True)

    plt.show()

    # ---------第四幅图：g(x) * f(t-x)的积分----------
    import matplotlib.patches as mPatches


    def int_fg(x, t, ax5):
        ax5 = set_ax(ax5)

        plt.plot(x,f_mul_g(x, t), 'orange', label="$f\ (\\tau)*g(x_0-\\tau) \ \  x_0={0}$".format(t))
        plt.legend(loc="upper right", bbox_to_anchor=[1, 1],
                   ncol=1, fancybox=True)

        a = -50
        b = 50
        ix = np.linspace(a,b)
        iy = f_mul_g(ix,t)

        verts = [(a,0)] + list(zip(ix, iy)) + [(b,0)]
        poly = mPatches.Polygon(verts,color='deepskyblue')
        ax5.add_patch(poly)
        # plt.plot(x,g(x),label=g.__doc__)

        plt.text(30, 50, '$\int_a^b f\ (\\tau)*g(x_0-\\tau) \ \  x_0={0}$'.format(t), style='oblique',
                 bbox={'facecolor': 'orange', 'alpha': 0.5, 'pad': 5}, fontsize=15)

    fig4, ax5 = plt.subplots()
    int_fg(x, t, ax5)
    plt.legend(loc="upper right", bbox_to_anchor=[1, 1], ncol=1, fancybox=True)

    plt.ion()

    # for i in range(100):

    #     y = np.random.random()

    #     plt.autoscale()

    #     plt.scatter(i, y)

    #     plt.pause(0.01)

    fig4, ax5 = plt.subplots()
    tn = np.arange(-100,100,5)
    for t in tn:
        plt.cla()
        plt.grid(True)
        plt.autoscale()
        int_fg(x, t, ax5)
        plt.pause(0.01)

        plt.legend(loc="upper right", bbox_to_anchor=[1, 1], ncol=1, fancybox=True)

    plt.show()