梯度下降（GD）是最小化風險函數、損失函數的一種常用方法，隨機梯度下降和批量梯度下降是兩種迭代求解思路，下面從公式和實現的角度對兩者進行分析，如有哪個方面寫的不對，希望網友糾正。
下面的h(x)是要擬合的函數，J(theta)損失函數，theta是參數，要迭代求解的值，theta求解出來了那最終要擬合的函數h(theta)就出來了。其中m是訓練集的記錄條數，j是參數的個數。
1、批量梯度下降的求解思路如下：
（1）將J(theta)對theta求偏導，得到每個theta對應的的梯度
以上的推導的結果，請看如下推導過程：
（2）由於是要最小化風險函數，所以按每個參數theta的梯度負方向，來更新每個theta
該步驟詳解：由步驟一求導出來的就是梯度，那麼梯度負方向就是梯度的反方向，即把它取反就可以了(即加個負號，再加上它自己)；要更新每個變量，負梯度就相當於一個向量。
（3）從上面公式可以注意到，它得到的是一個全局最優解，但是每迭代一步，都要用到訓練集所有的數據，如果m很大，那麼可想而知這種方法的迭代速度！！所以，這就引入了另外一種方法，隨機梯度下降。
2、隨機梯度下降的求解思路如下：
（1）上面的風險函數可以寫成如下這種形式，損失函數對應的是訓練集中每個樣本的粒度，而上面批量梯度下降對應的是所有的訓練樣本：
（2）每個樣本的損失函數，對theta求偏導得到對應梯度，來更新theta
（3）隨機梯度下降是通過每個樣本來迭代更新一次，如果樣本量很大的情況（例如幾十萬），那麼可能只用其中幾萬條或者幾千條的樣本，就已經將theta迭代到最優解了，對比上面的批量梯度下降，迭代一次需要用到十幾萬訓練樣本，一次迭代不可能最優，如果迭代10次的話就需要遍歷訓練樣本10次。但是，SGD伴隨的一個問題是噪音較BGD要多，使得SGD並不是每次迭代都向着整體最優化方向。
3、對於上面的linear regression問題，與批量梯度下降對比，隨機梯度下降求解的會是最優解嗎？
（1）批量梯度下降---最小化所有訓練樣本的損失函數，使得最終求解的是全局的最優解，即求解的參數是使得風險函數最小。
（2）隨機梯度下降---最小化每條樣本的損失函數，雖然不是每次迭代得到的損失函數都向着全局最優方向， 但是大的整體的方向是向全局最優解的，最終的結果往往是在全局最優解附近。
4、梯度下降用來求最優解，哪些問題可以求得全局最優？哪些問題可能局部最優解？
對於上面的linear regression問題，最優化問題對theta的分佈是unimodal，即從圖形上面看只有一個peak，所以梯度下降最終求得的是全局最優解。然而對於multimodal的問題，因爲存在多個peak值，很有可能梯度下降的最終結果是局部最優。
5、隨機梯度和批量梯度的實現差別
以前一篇博文中NMF實現爲例，列出兩者的實現差別（注：其實對應python的代碼要直觀的多，以後要練習多寫python！）
// 隨機梯度下降，更新參數
public void updatePQ_stochastic(double alpha, double beta) {
for (int i = 0; i < M; i++) {
ArrayList<Feature> Ri = this.dataset.getDataAt(i).getAllFeature();
for (Feature Rij : Ri) {
// eij=Rij.weight-PQ for updating P and Q
double PQ = 0;
for (int k = 0; k < K; k++) {
PQ += P[i][k] * Q[k][Rij.dim];
}
double eij = Rij.weight - PQ;
// update Pik and Qkj
for (int k = 0; k < K; k++) {
double oldPik = P[i][k];
P[i][k] += alpha
* (2 * eij * Q[k][Rij.dim] - beta * P[i][k]);
Q[k][Rij.dim] += alpha
* (2 * eij * oldPik - beta * Q[k][Rij.dim]);
}
}
}
}
// 批量梯度下降，更新參數
public void updatePQ_batch(double alpha, double beta) {
for (int i = 0; i < M; i++) {
ArrayList<Feature> Ri = this.dataset.getDataAt(i).getAllFeature();
for (Feature Rij : Ri) {
// Rij.error=Rij.weight-PQ for updating P and Q
double PQ = 0;
for (int k = 0; k < K; k++) {
PQ += P[i][k] * Q[k][Rij.dim];
}
Rij.error = Rij.weight - PQ;
}
}
for (int i = 0; i < M; i++) {
ArrayList<Feature> Ri = this.dataset.getDataAt(i).getAllFeature();
for (Feature Rij : Ri) {
for (int k = 0; k < K; k++) {
// 對參數更新的累積項
double eq_sum = 0;
double ep_sum = 0;
for (int ki = 0; ki < M; ki++) {// 固定k和j之後,對所有i項加和
ArrayList<Feature> tmp = this.dataset.getDataAt(i).getAllFeature();
for (Feature Rj : tmp) {
if (Rj.dim == Rij.dim)
ep_sum += P[ki][k] * Rj.error;
}
}
for (Feature Rj : Ri) {// 固定k和i之後,對多有j項加和
eq_sum += Rj.error * Q[k][Rj.dim];
}
// 對參數更新
P[i][k] += alpha * (2 * eq_sum - beta * P[i][k]);
Q[k][Rij.dim] += alpha * (2 * ep_sum - beta * Q[k][Rij.dim]);
}
}
}
}