[量子計算，與你有關]Part3-量子糾錯編碼

       歡迎來到YuleZhang的量子計算專欄，本專欄圍繞着《量子信息與量子計算》陳漢武編展開，奉行費曼學習法，儘可能的用生動的語言和自己的理解來拆解這本書，從而不斷鞏固和進步，歡迎與我一起學習，同時也期待你寶貴的建議！

一、前言

       前面我們提到過量子的疊加態、糾纏態等神奇的性質，正是因爲這些性質使得量子世界總是蒙着一層面紗，儘管已經撥開重重迷霧，仍是不得見其“素顏”。並且量子的這些狀態在量子信道上進行傳輸時，還會受到環境噪聲和自身相干性的影響，導致將要轉發的信息“面目全非”。於是類似於傳統信道的處理方式（例如海明碼糾錯等），我們在量子信道中也加入糾錯編碼，用來保證我們傳輸數據的準確和可靠性。

二、經典糾錯編碼

       爲什麼不直接學量子糾錯編碼方式呢，因爲量子糾錯就是在經典糾錯的基礎之上發展過來的，只是進行了適當的拓展而已。理解了這個，相信對於量子糾錯你就已經掌握一半的內容了，下面來看一看“巨人的肩膀”是什麼樣的。
       先來設想一個最簡單的場景，你要給你遠在異地的女朋友發消息。假設這個信道容易被幹擾，我們設你發1它收到0和發0收到1的概率爲$p$，也就是說你女朋友收到正確信息的概率是$1-p$。如下圖所示。

       那麼爲了保證一定的容錯率，爲了你的女票能正確收到信息。我們將傳送的$1bit$數據重複三次再發出去，即當你發000表示你要發0，當你發111表示你發的是1。當你女票收到信息之後，採用多數決定法解碼，如圖所示

       這樣處理確實能夠糾正大部分錯誤，可也有“漏網之魚”，即當所發的數據中兩個或兩個以上的比特位都被噪聲影響時，那麼女票就完全理解錯了。這時候我們來計算一下這種情況發生的概率。兩個比特錯就是$C_3^2p^2(1-p)$，三個比特都錯就是$C_3^3p^3$，設$p=0.01$則，那麼其錯誤概率就是
$C_3^2p^2(1-p)+C_3^3p^3 = (3-2p)p^2=0.000298<0.01$
       可以看到通過三比特重複編碼，明顯降低了誤碼率。

三、量子糾錯編碼

       下面“主角”即將出場——量子糾錯編碼，通過邏輯門操作結合上述多數決定法來實現量子糾錯。這裏要注意了！！！量子信道傳輸出現錯誤一般有以下三種情況

1. 比特反轉錯誤
2. 相位反轉錯誤
3. 比特和相位都發生反轉錯誤

       而經典的比特傳遞僅考慮比特反轉錯誤。並且，顯然第三種情況是第一種和第二種同時作用的結果，對應的糾錯也可以結合。

3.1 bit反轉信道的量子糾錯編碼

       這種情形跟經典信道的反轉很類似，還是比較容易處理的。二者的顯著區別就是信道中輸入的信號變爲了$|\psi⟩=\alpha|0⟩+\beta|1⟩$。類比傳統的情況，也就是說有$1-p$的概率收到的沒有發生錯誤，即原樣輸出。而有$p$的概率在傳輸過程中發生了反轉。
       咦，到了這裏停一下。量子裏面的反轉恰好可以用$X$門來表示，也就是說有$p$的概率使得女票得到$X|\psi⟩$的結果，總結起來就是下圖

       同樣的我們把傳輸的信息重複三次，注意這裏使得編碼保持線性。所以就有了以下式子，實際傳輸時的內容爲$|\psi⟩=\alpha|000⟩+\beta|111⟩$

qubit	編碼
|0⟩	|0⟩|0⟩|0⟩=|000⟩
|1⟩	|1⟩|1⟩|1⟩=|111⟩

       那麼實現信息重複的量子電路是什麼樣的呢，請看下圖

       可以看到圖中有兩個控制非門，當輸入$|\psi⟩$爲1時，第二位和第三位的0比特都發生反轉，也就得到了$|111⟩$。同理當輸入$|\psi⟩$爲0時，第二位和第三位的0比特不發生反轉，得到了$|000⟩$，大功告成，這就是編碼器了。
       下面考慮解碼器的功能，是不是跟傳統信道一模一樣呢（那個多數決定法）！那麼量子電路怎麼設計呢，科學家們已經幫我們解決了這個問題，其組成也是控制非門，下面來看看它的結構

       可以看到，接收方添加2位qubit輔助信息，將其初始化爲$|00⟩$，同收到的3qubit信息一同送入解碼器。若傳輸的信息沒有發生反轉，那麼經過4個控制非門演算，其狀態將順序發生如下變化

       只需測量最後2位qubit，就能準確的判斷出錯誤發生的位置。其對應關係如下

       當我們找出錯誤比特的位置，那麼就能通過$X-Gate$演算反轉自動糾正錯誤了。
       很顯然上述解碼過程有些抽象，下面將舉一個具體的例子來幫助理解。待發送內容爲$|\psi⟩=\alpha|0⟩+\beta|1⟩$，利用上述的編碼器編碼得到$|\psi⟩=\alpha|000⟩+\beta|111⟩$。假設在傳輸的過程中第2個qubit發生反轉錯誤，即接收方收到了$\alpha|010⟩+\beta|101⟩$。不要着急，將這段序列送入解碼器（圖4-4）。通過一系列控制非門的運算，那麼到虛線處計算的結果爲$\alpha|01011⟩+\beta|10111⟩=(\alpha|010⟩+\beta|101⟩)|11⟩$       隨後測定輔助位，以$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$的概率測定到輔助位爲$|11⟩$，查表發現其對應着第二位錯誤，對第二位實施$X-Gate$即可得到正確的結果。
       對於bit反轉的錯誤到這裏就結束了，總結一下就是先採用三次重複編碼器編碼，隨後傳輸，收到信息後添加輔助位送入解碼器。將解碼器的2位輔助輸出位查表，找到對應的錯誤位置，最後$X-Gate$糾正就完美了！

3.2 位相反轉信道的量子糾錯編碼

       有了上面比特反轉的基礎，我們就能迅速明確我們發送的信息將以$1-p$的概率在傳輸時沒有被幹擾改變，同時也有$p$的概率在傳輸時發生位相反轉。
       到了這裏再停一下，位相反轉是不是可以用$Z-Gate$來表示呢，於是同理得到了下圖（位相反轉信道）

       隨後呢，就是將輸入$|\psi⟩=\alpha|0⟩+\beta|1⟩$送入編碼器（上圖4-3），得到$|\psi⟩=\alpha|000⟩+\beta|111⟩$。將其經過位相反轉信道傳送，如果第一位qubit發生了位相反轉，即接收方收到的信息爲$\alpha|000⟩-\beta|111⟩$。對於這種情況顯然就不能用比特反轉裏的多數決定法了，它面對此類問題顯然毫無對策。
下面來回顧一下$H$門（Hadamard變換）
$H=\frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \begin{matrix} 1 & 1\\ 1 & -1\\ \end{matrix} \right]$
H門有如下的性質
$H*H=H^2=\frac{1}{2} \left[ \begin{matrix} 1 & 1\\ 1 & -1\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 1\\ 1 & -1\\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{matrix} \right]=I$
$HZH=\frac{1}{2} \left[ \begin{matrix} 1 & 1\\ 1 & -1\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 0\\ 0 & -1\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 1\\ 1 & -1\\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 0 & 1\\ 1 & 0\\ \end{matrix} \right]=X$
       上述公式推算中，$I$表示單位矩陣，$X$表示比特反轉門。於是對於位相反轉錯誤可以將其轉爲比特反轉錯誤，隨後再用比特反轉信道糾錯碼就能實現糾錯，獲取正確的數據，總結如圖4-6所示。

       其中虛線表示信息的不同位置，左側是發送方，中間是傳輸過程中，右側是接收方。下面來看看編碼器和解碼器的示意圖（圖4-7和圖4-8）。


       相信已經非常直觀了，爲了便於理解，還是舉個例子，詳細過一遍這個過程。爲了描述方便，先用下列方法定義狀態$|+⟩$和$|-⟩$：
$|+⟩=H|0⟩=\frac{1}{\sqrt{2}} \left[\begin{matrix} 1 & 1\\ 1 &-1 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{matrix} 1 \\ 1\end{matrix}\right]$
$|-⟩=H|1⟩=\frac{1}{\sqrt{2}} \left[\begin{matrix} 1 & 1\\ 1 &-1 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 0\\ 1 \end{matrix}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{matrix} 1 \\ -1\end{matrix}\right]$
       老規矩，信息經過重複碼重複三次，隨後每一個bit做$H$門運算，就能得到以下3qubit的疊加態。
$\alpha H|0⟩H|0⟩H|0⟩+\beta H|1⟩H|1⟩H|1⟩=\alpha |+++⟩+\beta |---⟩$
       上面就是經過編碼器編碼後的結果，現在就要將這個結果發給對方啦！然鵝，在發送過程中，又有人惡意搞破壞，讓第二位qubit發生了位相反轉錯誤。想誤導你呵呵，導致對方接收到了$\alpha|+-+⟩+\beta |-+-⟩$。不過還好我們有圖4-8解碼器。先將得到的內容送入$H$門進行運算。根據下面的運算公式我們得到經$H$門運算的結果爲$\alpha |010⟩+\beta|101⟩$
$H|+⟩=H(H|0⟩)=|0⟩ \\ H|-⟩=H(H|1⟩)=|1⟩$
       下面就又轉化成爲bit反轉問題，將其送入圖4-4所示的解碼器再進行反轉運算就好了。總結一下，相比於bit反轉的電路，位相反轉在原有的基礎上添加了$H$門，巧妙的將問題進行了轉化，從而最終能解開原有信息的面紗。

3.3 bit和位相同時發生反轉

       有了上面的鋪墊，這種情況應該比較顯而易見了，我們的思路就是先糾正bit反轉錯誤，再將位相錯誤轉爲bit反轉錯誤，最後再次糾正bit反轉錯誤，就能得到正確信息。帶着這個思路，下面我們來看看編碼器的樣子。

       $H$門及之前的很容易理解，跟位相反轉一樣。隨後又在輸出之前每一bit添加了重複三次操作，這主要是爲了能夠直接用來糾正bit反轉錯誤。
       到了這裏可能有人會問了，爲什麼最開始的三位重複qubit不能直接用來糾正bit反轉錯誤呢。還記得上面提到的位相反轉錯誤最終轉爲bit反轉錯誤嗎?因此，開始的三位重複qubit是用來給位相反轉處理後的bit反轉預留的重複碼，是留着用來完成位相錯誤糾正操作的。
       下面來看看解碼器的示意圖

       從圖中可以看到，與我們上述描述一致，先對每一位糾正bit錯誤，隨後直接送入4-8的位相反轉糾正電路就能成功搞定bit和位相同時發生錯誤的糾錯電路。
       以上就是本次學習的主要內容，內容有一些抽象，需要反覆理解鞏固！