[量子計算，與你有關]Part4-量子糾纏狀態純化協議

       歡迎來到YuleZhang的量子計算專欄，本專欄圍繞着《量子信息與量子計算》陳漢武編展開，奉行費曼學習法，儘可能的用生動的語言和自己的理解來拆解這本書，從而不斷鞏固和進步，歡迎與我一起學習，同時也期待你寶貴的建議！

一、前言

       如果這篇文章能被你找到，那麼相信你對量子高密度編碼或者量子隱形傳態並不陌生，這裏再來回顧一下。

1.1 量子高密度編碼

       說到這部分，我們不僅要知道量子糾纏態，還要知道貝爾態基（貝爾態基是量子糾纏態中的一種特殊情形），如下
$|\beta_{00}⟩ = \frac{(|00⟩+|11⟩)}{\sqrt{2}}\\ |\beta_{01}⟩ = \frac{(|01⟩+|10⟩)}{\sqrt{2}}\\ |\beta_{10}⟩ = \frac{(|00⟩-|11⟩)}{\sqrt{2}}\\ |\beta_{11}⟩ = \frac{(|01⟩-|10⟩)}{\sqrt{2}}\\$

       當通過糾纏變換回路生成量子糾纏時，這兩個qubit就被緊緊聯繫在了一起，根據量子間“幽靈般”的超距作用，它們之間無論距離多遠，一旦其中一個qubit由於觀測狀態發生變化，那麼另一個也會隨之發生對應的變化，這樣就實現了信息的超距傳遞。這種感覺就像電影中相愛的兩個人即使天各一方，也能彼此明白對方的心意一樣。
       而量子高密度編碼能夠實現一個qubit位傳送兩位bit值，那麼要是有$k$個qubit，理論上就能傳送$2k$位bit的信息。它整個過程是這樣的，假設聯通公司給你和你異地的女票各發了一個製備好的貝爾態qubit$|00⟩$。你按照你想傳的信息對你的qubit進行操作（無操作、$X-Gate$、$Z-Gate$或$XZ$），每個操作對應着不同的傳輸信息（00，01，10，11），如圖3-3所示。

       操作完之後，你通過實際量子信道把這個qubit發給女票，當她收到時，對這兩個qubit一觀測，就能知道它處於哪個貝爾態基，於是就對應着找到了傳輸的2位bit信息，如圖3-4所示。

1.2 量子隱形傳態

       還記得那套熟悉的實驗裝置麼，該圖詳細介紹複習Part1-量子信息學及相關概念

       總結一下，量子隱形傳態的核心思想就是想要傳輸的信息同信道中傳輸的信息並不是對應關係，無論是傳統信道還是量子信道，其傳輸的僅僅是用來製備恢復原本信息的一部分內容，沒有這個部分接收方無法得到正確的信息。同時，即使信道被竊聽、數據被篡改，也能第一時間發現，從而就保證了信道傳輸的安全性。

二、EPP

2.1 Principle

       兜轉了一圈，下面迴歸主題，討論EPP原理和作用。EPP（Entanglement Purification Protocol）協議也叫作量子糾纏狀態純化協議，簡單而言呢它同量子糾錯編碼體系的作用一樣，都能夠用來對抗量子傳送過程中由於噪聲或過長時間導致量子狀態的變化。
       讓我們以“發展的眼光”再來看看量子高密度編碼，接收雙方都能得到原始的貝爾基態$|00⟩$。那麼問題來了，當最初這個基態從運營商發到客戶手中時要是被篡改或者是被環境干擾了，那雙方就不能正常通信了，那種感覺就像ASCII碼最開始被加了幾位偏移一樣，很難再譯成正確的內容。EPP就是專門解決這個問題的，它的另一種說法是：以任意接近1的概率使A、B雙方共同擁有貝爾狀態$|00⟩$的協議。

2.2 Example

       通過上面的介紹是不是對它的背景和作用有了一定的瞭解了，下面通過一個例子來了解它的essence!

       爲了更好的理解，我們假設qubit在傳輸的過程中發生了bit反轉，即以$p$的概率bit反轉，同時以$1-p$的概率原樣輸出，那麼用戶的狀態就變成

• 以概率$(1-p)^2$爲$\frac{|00⟩ +|11⟩}{\sqrt{2}}$
• 以概率$p(1-p)$爲$\frac{(X|0⟩)|0⟩ +(X|1⟩)|1⟩}{\sqrt{2}}=\frac{|10⟩ +|01⟩}{\sqrt{2}}$
• 以概率$(1-p)p$爲$\frac{|0⟩(X|0⟩) +|1⟩(X|1⟩)}{\sqrt{2}}=\frac{|01⟩ +|10⟩}{\sqrt{2}}$
• 以概率$(1-p)^2$爲$\frac{(X|0⟩) (X|0⟩) +(X|1⟩) (X|1⟩) }{\sqrt{2}}=\frac{|00⟩ +|11⟩}{\sqrt{2}}$

       這意味着只有當僅一位qubit發生bit反轉時，纔會造成錯誤，假設q爲發生錯誤的概率（僅錯有一位發生bit反轉），那麼可以計算出
$q = 1 - (1-p)^2-p^2$
       總結一下，就是當信道中可能存在bit反轉錯誤時，A和B的$|00⟩$貝爾態有$1-q$的概率正常，保持爲$|\beta_{00}⟩$，有$q$的概率受到干擾，變成$|\beta_{01}⟩$。

       下面就可以引出EPP正式的定義啦，在上面的論述中，我們假設製備中心僅製備了一對貝爾基態的兩個qubit，那麼下面我們可以通過增加一對或多對貝爾狀態來儘可能的使傳輸正常進行，使得雙方共同得到正確的|00⟩的概率大於剛剛提到的$1-q$，那麼這就是EPP。下面看看2個qubit對的情況

• 以概率$(1-q)^2$爲$|\beta_{00}⟩|\beta_{00}⟩$
• 以概率$(1-q)q$爲$|\beta_{00}⟩|\beta_{01}⟩$
• 以概率$q(1-p)$爲$|\beta_{01}⟩|\beta_{00}⟩$
• 以概率$q^2$爲$|\beta_{01}⟩|\beta_{01}⟩$

       是不是很眼熟，這跟我們之前表示一對qubit的情況很類似，只不過這裏將反轉概率$p$，換爲了糾錯出錯概率$q$，下面開始分發qubit啦，具體操作如圖6-1

從圖中可以看到，用戶A和B將自己擁有的兩個qubit輸入到控制非門，通過運算得到如下關係
$|\beta_{00}⟩|\beta_{00}⟩->|\beta_{00}⟩|\beta_{00}⟩\\ |\beta_{00}⟩|\beta_{01}⟩->|\beta_{00}⟩|\beta_{01}⟩\\ |\beta_{01}⟩|\beta_{00}⟩->|\beta_{01}⟩|\beta_{01}⟩\\ |\beta_{01}⟩|\beta_{01}⟩->|\beta_{01}⟩|\beta_{00}⟩$

這裏要特別說明一下，兩對貝爾基態分別被拆開送給A、B。即若糾纏態爲1和2、3和4時，A收到的是1和3，B收到的是2和4

       看不懂這個關係對應在正常不過了，這是通過計算分析總結得到的結果，下面就第四行對應關係驗算一下，如下圖所示，通過控制非門，成功的將貝爾態$|\beta_{01}⟩|\beta_{01}⟩$轉化爲了$|\beta_{01}⟩|\beta_{00}⟩$

       規定讓A和B都測一測自己的第二個qubit，通過經典信道確認下“眼神”，要是一樣就保存各自的第一位qutbit，否則就丟棄。於是你看第一行和第四行的情形會被保存，在這個結果中包含兩種情況，只有第一行意味着雙方第一對貝爾態是正確的$|00⟩$。之前提到EPP可是保證過雙方擁有貝爾態的概率要大於$1-q$的，那來算算概率吧！
       首先第一行和第四行狀態是我們想得到的結果，它們的概率和爲$(1-q)^2+q^2$，那麼取$|\beta_{00}⟩$和$|\beta_{01}⟩$的概率如下

• 以概率$\frac{(1-q)^2}{(1-q)^2+q^2}$爲$|\beta_{00}⟩$
• 以概率$\frac{q^2}{(1-q)^2+q^2}$爲$|\beta_{01}⟩$

設信道受干擾導致得不到貝爾態的概率$0<q<\frac{1}{2}$，那麼下列不等式成立
$\frac{(1-q)^2}{(1-q)^2+q^2} > 1-q$

證明如圖所示，通過證明可以看到，當我們保證信道發生錯誤導致貝爾態製備失去效果的概率$q$在$0<q<\frac{1}{2}$時，能使得擁有狀態$|\beta_{00}⟩$的概率增加。

三、Quantum Privacy Amplification Protocol

       上面提到的僅僅是比特錯誤得到純化，下面討論更一般的情況！稍等，請允許我先直譯下這個名字“量子保密放大協議”。咳咳，果然什麼都不是。總的來說，它同EPP類似，都是爲了增加擁有貝爾態$|00⟩$的概率，進而保證信道傳輸的準確性。區別在於，EPP是針對bit反轉錯誤，而Quantum Privacy Amplification（下面簡稱QPA）則是考慮一般的情形。
       其實它也沒有什麼神祕的，只不過在原來的電路基礎上添加了一個酉算子而已，來回顧下酉算子和它的一些性質

3.1 酉算子

       希爾伯特空間的酉算子是仍保持其內積意義的希爾伯特空間的線性變換。酉算子具有逆算子，其逆算子也是一種酉算子，且酉算子和其逆算子是一對共軛算子。下面列出通信雙方的酉算子及相關運算
$U_A=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{matrix} 1 & -i\\-i & 1 \end{matrix} \right] \\ \ \\ U_B=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{matrix} 1 & i\\i & 1 \end{matrix} \right]$
則$U_A|0⟩$和$U_A|1⟩$分別爲
$U_A|0⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{matrix} 1 & -i \\ -i & 1 \end{matrix} \right]\left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right] = \frac{1}{\sqrt{2}}(\left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right]+(-i)\left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right]) =\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩-i|1⟩)$
$U_A|1⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{matrix} 1 & -i \\ -i & 1 \end{matrix} \right]\left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right] = \frac{1}{\sqrt{2}}((-i)\left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right]+\left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right]) =\frac{1}{\sqrt{2}}((-i)|0⟩+|1⟩)$
則$U_B|0⟩$和$U_B|1⟩$分別爲
$U_B|0⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{matrix} 1 & i \\ i & 1 \end{matrix} \right]\left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right] = \frac{1}{\sqrt{2}}(\left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right]+i\left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right]) =\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+i|1⟩)$
$U_B|1⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{matrix} 1 & i \\ i & 1 \end{matrix} \right]\left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right] = \frac{1}{\sqrt{2}}((-i)\left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right]+\left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right]) =\frac{1}{\sqrt{2}}(i|0⟩+|1⟩)$

3.2 Principle

在瞭解過EPP的操作方式之後，再來理解QAP就容易多了，話不多說先上圖。
看好了，這次製備中心還是製備了兩對貝爾態，分別發給用戶A和用戶B。從圖中可以明顯看到，傳輸的貝爾態量子先經過酉變換，然後再經過控制非門。同樣的，若雙方選擇第二位qubit進行測量，並通過經典信道互相告知對方，若測定結果一樣，則保存剩下那個qubit。若測定結果雙方不一致，那麼就丟棄剩下的1個qubit。

3.3 Example

       To better under the principle of QAP，我們通過一個例子來說明它的workflow，同樣的也會通過相應公式計算來證明它行之有效。我們假設製備中心製備的例子在鏈路中可能需要位相反轉錯誤，發送的信號以$1-p$的概率收到，以$p$的概率發生位相反轉（想起沒，就是多乘了個Z門），那麼同樣的用$q=1-(1-p)^2-p^2$來作爲由於信道被幹擾而影響貝爾態的概率。此時用戶A和B的情況可以表示爲

• 以概率$(1-q)^2$爲$|\beta_{00}⟩|\beta_{00}⟩$
• 以概率$(1-q)q$爲$|\beta_{00}⟩|\beta_{10}⟩$
• 以概率$q(1-p)$爲$|\beta_{10}⟩|\beta_{00}⟩$
• 以概率$q^2$爲$|\beta_{10}⟩|\beta_{10}⟩$

       可以看到這次A和B的表示同之前bit位相反轉不相同，這是因爲這次是發生位相反轉錯誤，即符號發生變化。而將四種貝爾態與酉算子進行運算可以得到如下對應關係：

• $|\beta_{00}⟩ ->|\beta_{00}⟩$
• $|\beta_{01}⟩ ->|\beta_{01}⟩$
• $|\beta_{10}⟩ ->|\beta_{11}⟩$
• $|\beta_{11}⟩ ->|\beta_{10}⟩$

       那你肯定要問了，這個關係怎麼來的呢，答動筆算的，我算下第四行當做示範，其他的算法一樣：

$|\beta_{11}⟩ \xRightarrow{U_AU_B} \frac{(U_A|0)(U_B|1) - (U_A|1)(U_B|1)}{\sqrt(2)} =\frac{|00⟩-|11⟩}{\sqrt{2}} = |\beta_{10}⟩$

       在經過酉變換之後，繼續送入控制非門進行運算，同樣得到如下的對應關係
$|\beta_{00}⟩|\beta_{00}⟩\xRightarrow{酉變換}|\beta_{00}⟩|\beta_{00}⟩ \xRightarrow{控制非門} |\beta_{00}⟩|\beta_{00}⟩ \\ \ \\ |\beta_{00}⟩|\beta_{10}⟩\xRightarrow{酉變換}|\beta_{00}⟩|\beta_{11}⟩\xRightarrow{控制非門} |\beta_{10}⟩|\beta_{11}⟩\\ \ \\ |\beta_{10}⟩|\beta_{00}⟩\xRightarrow{酉變換}|\beta_{11}⟩|\beta_{00}⟩\xRightarrow{控制非門} |\beta_{11}⟩|\beta_{01}⟩\\ \ \\ |\beta_{10}⟩|\beta_{10}⟩\xRightarrow{酉變換}|\beta_{11}⟩|\beta_{11}⟩\xRightarrow{控制非門} |\beta_{11}⟩|\beta_{00}$
       這樣是不是就一目瞭然了，比書上的清晰多了。隨後比較各自第二位qubit，發現只有第一、四行被保存下來。這裏具體說說怎麼對比的第二位比特，例如$|\beta_{11}⟩ |\beta_{00}⟩$可以用貝爾態表示爲$\frac{|01⟩-|10⟩}{\sqrt{2}}\frac{|00⟩-|11⟩}{\sqrt{2}}$，A的第二位qubit爲0時，B的第二位qubit也爲0，A第二位qubit爲1時，B的第二位爲1，都相同，所以滿足保存條件。
       如果你再仔細對比之前展示的概率，就會發現，位相反轉這個例子同樣計算出的得到正確貝爾態概率爲
$\frac{(1-q)^2}{(1-q)^2+q^2}$
       前面已經證明過它是大於$1-q$的，說明通過QAP協議，A和B能夠共有貝爾態$|00⟩$的概率比不做任何處理的結果要好。