[量子计算，与你有关]Part3-量子纠错编码

       欢迎来到YuleZhang的量子计算专栏，本专栏围绕着《量子信息与量子计算》陈汉武编展开，奉行费曼学习法，尽可能的用生动的语言和自己的理解来拆解这本书，从而不断巩固和进步，欢迎与我一起学习，同时也期待你宝贵的建议！

一、前言

       前面我们提到过量子的叠加态、纠缠态等神奇的性质，正是因为这些性质使得量子世界总是蒙着一层面纱，尽管已经拨开重重迷雾，仍是不得见其“素颜”。并且量子的这些状态在量子信道上进行传输时，还会受到环境噪声和自身相干性的影响，导致将要转发的信息“面目全非”。于是类似于传统信道的处理方式（例如海明码纠错等），我们在量子信道中也加入纠错编码，用来保证我们传输数据的准确和可靠性。

二、经典纠错编码

       为什么不直接学量子纠错编码方式呢，因为量子纠错就是在经典纠错的基础之上发展过来的，只是进行了适当的拓展而已。理解了这个，相信对于量子纠错你就已经掌握一半的内容了，下面来看一看“巨人的肩膀”是什么样的。
       先来设想一个最简单的场景，你要给你远在异地的女朋友发消息。假设这个信道容易被干扰，我们设你发1它收到0和发0收到1的概率为$p$，也就是说你女朋友收到正确信息的概率是$1-p$。如下图所示。

       那么为了保证一定的容错率，为了你的女票能正确收到信息。我们将传送的$1bit$数据重复三次再发出去，即当你发000表示你要发0，当你发111表示你发的是1。当你女票收到信息之后，采用多数决定法解码，如图所示

       这样处理确实能够纠正大部分错误，可也有“漏网之鱼”，即当所发的数据中两个或两个以上的比特位都被噪声影响时，那么女票就完全理解错了。这时候我们来计算一下这种情况发生的概率。两个比特错就是$C_3^2p^2(1-p)$，三个比特都错就是$C_3^3p^3$，设$p=0.01$则，那么其错误概率就是
$C_3^2p^2(1-p)+C_3^3p^3 = (3-2p)p^2=0.000298<0.01$
       可以看到通过三比特重复编码，明显降低了误码率。

三、量子纠错编码

       下面“主角”即将出场——量子纠错编码，通过逻辑门操作结合上述多数决定法来实现量子纠错。这里要注意了！！！量子信道传输出现错误一般有以下三种情况

1. 比特反转错误
2. 相位反转错误
3. 比特和相位都发生反转错误

       而经典的比特传递仅考虑比特反转错误。并且，显然第三种情况是第一种和第二种同时作用的结果，对应的纠错也可以结合。

3.1 bit反转信道的量子纠错编码

       这种情形跟经典信道的反转很类似，还是比较容易处理的。二者的显著区别就是信道中输入的信号变为了$|\psi⟩=\alpha|0⟩+\beta|1⟩$。类比传统的情况，也就是说有$1-p$的概率收到的没有发生错误，即原样输出。而有$p$的概率在传输过程中发生了反转。
       咦，到了这里停一下。量子里面的反转恰好可以用$X$门来表示，也就是说有$p$的概率使得女票得到$X|\psi⟩$的结果，总结起来就是下图

       同样的我们把传输的信息重复三次，注意这里使得编码保持线性。所以就有了以下式子，实际传输时的内容为$|\psi⟩=\alpha|000⟩+\beta|111⟩$

qubit	编码
|0⟩	|0⟩|0⟩|0⟩=|000⟩
|1⟩	|1⟩|1⟩|1⟩=|111⟩

       那么实现信息重复的量子电路是什么样的呢，请看下图

       可以看到图中有两个控制非门，当输入$|\psi⟩$为1时，第二位和第三位的0比特都发生反转，也就得到了$|111⟩$。同理当输入$|\psi⟩$为0时，第二位和第三位的0比特不发生反转，得到了$|000⟩$，大功告成，这就是编码器了。
       下面考虑解码器的功能，是不是跟传统信道一模一样呢（那个多数决定法）！那么量子电路怎么设计呢，科学家们已经帮我们解决了这个问题，其组成也是控制非门，下面来看看它的结构

       可以看到，接收方添加2位qubit辅助信息，将其初始化为$|00⟩$，同收到的3qubit信息一同送入解码器。若传输的信息没有发生反转，那么经过4个控制非门演算，其状态将顺序发生如下变化

       只需测量最后2位qubit，就能准确的判断出错误发生的位置。其对应关系如下

       当我们找出错误比特的位置，那么就能通过$X-Gate$演算反转自动纠正错误了。
       很显然上述解码过程有些抽象，下面将举一个具体的例子来帮助理解。待发送内容为$|\psi⟩=\alpha|0⟩+\beta|1⟩$，利用上述的编码器编码得到$|\psi⟩=\alpha|000⟩+\beta|111⟩$。假设在传输的过程中第2个qubit发生反转错误，即接收方收到了$\alpha|010⟩+\beta|101⟩$。不要着急，将这段序列送入解码器（图4-4）。通过一系列控制非门的运算，那么到虚线处计算的结果为$\alpha|01011⟩+\beta|10111⟩=(\alpha|010⟩+\beta|101⟩)|11⟩$       随后测定辅助位，以$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$的概率测定到辅助位为$|11⟩$，查表发现其对应着第二位错误，对第二位实施$X-Gate$即可得到正确的结果。
       对于bit反转的错误到这里就结束了，总结一下就是先采用三次重复编码器编码，随后传输，收到信息后添加辅助位送入解码器。将解码器的2位辅助输出位查表，找到对应的错误位置，最后$X-Gate$纠正就完美了！

3.2 位相反转信道的量子纠错编码

       有了上面比特反转的基础，我们就能迅速明确我们发送的信息将以$1-p$的概率在传输时没有被干扰改变，同时也有$p$的概率在传输时发生位相反转。
       到了这里再停一下，位相反转是不是可以用$Z-Gate$来表示呢，于是同理得到了下图（位相反转信道）

       随后呢，就是将输入$|\psi⟩=\alpha|0⟩+\beta|1⟩$送入编码器（上图4-3），得到$|\psi⟩=\alpha|000⟩+\beta|111⟩$。将其经过位相反转信道传送，如果第一位qubit发生了位相反转，即接收方收到的信息为$\alpha|000⟩-\beta|111⟩$。对于这种情况显然就不能用比特反转里的多数决定法了，它面对此类问题显然毫无对策。
下面来回顾一下$H$门（Hadamard变换）
$H=\frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \begin{matrix} 1 & 1\\ 1 & -1\\ \end{matrix} \right]$
H门有如下的性质
$H*H=H^2=\frac{1}{2} \left[ \begin{matrix} 1 & 1\\ 1 & -1\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 1\\ 1 & -1\\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{matrix} \right]=I$
$HZH=\frac{1}{2} \left[ \begin{matrix} 1 & 1\\ 1 & -1\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 0\\ 0 & -1\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 1\\ 1 & -1\\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 0 & 1\\ 1 & 0\\ \end{matrix} \right]=X$
       上述公式推算中，$I$表示单位矩阵，$X$表示比特反转门。于是对于位相反转错误可以将其转为比特反转错误，随后再用比特反转信道纠错码就能实现纠错，获取正确的数据，总结如图4-6所示。

       其中虚线表示信息的不同位置，左侧是发送方，中间是传输过程中，右侧是接收方。下面来看看编码器和解码器的示意图（图4-7和图4-8）。


       相信已经非常直观了，为了便于理解，还是举个例子，详细过一遍这个过程。为了描述方便，先用下列方法定义状态$|+⟩$和$|-⟩$：
$|+⟩=H|0⟩=\frac{1}{\sqrt{2}} \left[\begin{matrix} 1 & 1\\ 1 &-1 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{matrix} 1 \\ 1\end{matrix}\right]$
$|-⟩=H|1⟩=\frac{1}{\sqrt{2}} \left[\begin{matrix} 1 & 1\\ 1 &-1 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 0\\ 1 \end{matrix}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{matrix} 1 \\ -1\end{matrix}\right]$
       老规矩，信息经过重复码重复三次，随后每一个bit做$H$门运算，就能得到以下3qubit的叠加态。
$\alpha H|0⟩H|0⟩H|0⟩+\beta H|1⟩H|1⟩H|1⟩=\alpha |+++⟩+\beta |---⟩$
       上面就是经过编码器编码后的结果，现在就要将这个结果发给对方啦！然鹅，在发送过程中，又有人恶意搞破坏，让第二位qubit发生了位相反转错误。想误导你呵呵，导致对方接收到了$\alpha|+-+⟩+\beta |-+-⟩$。不过还好我们有图4-8解码器。先将得到的内容送入$H$门进行运算。根据下面的运算公式我们得到经$H$门运算的结果为$\alpha |010⟩+\beta|101⟩$
$H|+⟩=H(H|0⟩)=|0⟩ \\ H|-⟩=H(H|1⟩)=|1⟩$
       下面就又转化成为bit反转问题，将其送入图4-4所示的解码器再进行反转运算就好了。总结一下，相比于bit反转的电路，位相反转在原有的基础上添加了$H$门，巧妙的将问题进行了转化，从而最终能解开原有信息的面纱。

3.3 bit和位相同时发生反转

       有了上面的铺垫，这种情况应该比较显而易见了，我们的思路就是先纠正bit反转错误，再将位相错误转为bit反转错误，最后再次纠正bit反转错误，就能得到正确信息。带着这个思路，下面我们来看看编码器的样子。

       $H$门及之前的很容易理解，跟位相反转一样。随后又在输出之前每一bit添加了重复三次操作，这主要是为了能够直接用来纠正bit反转错误。
       到了这里可能有人会问了，为什么最开始的三位重复qubit不能直接用来纠正bit反转错误呢。还记得上面提到的位相反转错误最终转为bit反转错误吗?因此，开始的三位重复qubit是用来给位相反转处理后的bit反转预留的重复码，是留着用来完成位相错误纠正操作的。
       下面来看看解码器的示意图

       从图中可以看到，与我们上述描述一致，先对每一位纠正bit错误，随后直接送入4-8的位相反转纠正电路就能成功搞定bit和位相同时发生错误的纠错电路。
       以上就是本次学习的主要内容，内容有一些抽象，需要反复理解巩固！