BZOJ4377[POI2015] Kurs szybkiego czytania

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Description

给定n,a,b,p，其中n,a互质。定义一个长度为n的01串c[0..n-1]，其中c[i]==0当且仅当(ai+b) mod n < p。

给定一个长为m的小01串，求出小串在大串中出现了几次。

Input

第一行包含整数n,a,b,p,m(2<=n<=109,1<=p,a,b,m<n,1<=m<=106) 。n和a互质。

第二行一个长度为m的01串。

Output

一个整数，表示小串在大串中出现了几次

Sample Input

9 5 6 4 3

101

Sample Output

3

HINT

Solution：

很有意思的一道题。

首先根据这个n 与a 互质，可以得出(ai+b)modn 是[0,n) 的一个全排列。

然后我们考虑小串的第i 位与大串的某一位匹配了，设此点在大串中的值为x=(ai+b)%n 。由于它满足于p 的大小关系，可以列出一条式子：（假设小串第i 位为0）

0≤x<p

设大串匹配的开头点的x 值为x0 ，可以得到：(小串下标从1开始)

−a∗(i−1)%n≤(x−a∗(i−1))%n<(p−a∗(i−1))%n

即：

−a∗(i−1)%n≤x0<(p−a∗(i−1))%n

用同样的方式可以给出m 条限制的式子，只需要求出这些的交集就可以了。但这并不好做，可以将所有的区间取个反，然后按左端点排序求补集大小，就可以了。

注意：上式取模取正后有可能出现左边大于右边的情况，这时其实两个符号之间是或的关系。

还有一点：大串最后m−1 个点也是不能作为x0 的位置，要处理掉。

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define M 1000005
using namespace std;
struct Node{
    int L,R;
    bool operator <(const Node &a)const{
        return L<a.L;
    }
}Q[M<<2];
char str[M];
int main(){
    int n,a,b,p,m,sz=0;
    scanf("%d %d %d %d %d",&n,&a,&b,&p,&m);
    scanf("%s",str);
    for(int i=0;i<m;i++){
        int L,R;
        if(str[i]=='0'){//已取反
            L=((p-1LL*a*i)%n+n)%n;
            R=((n-1LL*a*i-1)%n+n)%n;
        }else{
            L=((0-1LL*a*i)%n+n)%n;
            R=((p-1LL*a*i-1)%n+n)%n;
        }
        if(L<=R){
            Q[++sz]=(Node){L,R};
        }else{
            Q[++sz]=(Node){0,R};
            Q[++sz]=(Node){L,n-1};
        }
    }
    for(int i=n-m+1;i<n;i++)//最后m-1位
        Q[++sz]=(Node){(1LL*a*i+b)%n,(1LL*a*i+b)%n};
    sort(Q+1,Q+sz+1);
    int ed=-1,ans=0;
    for(int i=1;i<=sz;i++){
        if(ed<Q[i].L)ans+=Q[i].L-ed-1;
        if(Q[i].R>ed)ed=Q[i].R;
    }
    printf("%d\n",ans+(n-1-ed));
    return 0;
}