數據結構-二分搜索樹

一. 特點：

1. 二分搜索樹是二叉樹。
2. 二分搜索樹的每個節點的值： 大於其左子樹的所有節點的值，小於其右子樹的所有節點的值。
3. 每一棵子樹也是二分搜索樹。
4. 存儲的元素必須有比較性。
5. 我們的二分搜索樹不包含重複元素。如果想包含重複元素的話，只需要定義：
   左子樹小於等於節點；或者右子樹大於等於節點。
   注意：之前的數組和鏈表，可以有重複元素。
6. 二分搜索樹添加元素的非遞歸算法，和鏈表很像。
7. 二分搜索樹關注遞歸實現。遞歸實現比非遞歸實現簡單。

二. 時間複雜度分析

1. 查詢

遞歸查詢代碼：

    /**
     * 看以node爲根的二分搜索樹中是否包含元素E
     *
     * @param node 根節點
     * @param e  要查詢的元素e
     * @return
     */
    private boolean contains(Node node, E e) {
        if (node == null) {
            return false;
        }
        if (e.compareTo(node.e) == 0) {
            return true;
        } else if (e.compareTo(node.e) < 0) {
            return contains(node.left, e);
        } else {
            return contains(node.right, e);
        }
    }

查詢時間複雜度： O(logN)

2. 插入

遞歸插入代碼

   /**
     * 向以node爲根的二分搜索樹中插入元素E,遞歸算法
     * 插入新的節點 返回二分搜索樹的根
     * 上面方法優化成下面的方法
     *
     * @param node
     * @param e
     * @return
     */
    private Node add(Node node, E e) {

        if (node == null) {
            size++;
            return new Node(e);
        }
        if (e.compareTo(node.e) < 0) {
            node.left = add(node.left, e);
        } else if (e.compareTo(node.e) > 0) {
            node.right = add(node.right, e);
        }
        return node;
    }

插入時間複雜度：O(logN)

3. 刪除

遞歸刪除代碼

    /**
     * 刪除以node爲根節點的 元素e
     * @param node
     * @param e
     * @return
     */
    private Node remove(Node node, E e) {
        if (node == null) {
            return null;
        }
        if (e.compareTo(node.e) < 0) {
            node.left = remove(node.left, e);
            return node;
        } else if (e.compareTo(node.e) > 0) {
            node.right = remove(node.right, e);
            return node;
        } else {  //e.equal(node.e)
            //待刪除節點左節點均爲空的情況
            if (node.left == null) {
                Node rightNode = node.right;
                node.right = null;
                size--;
                return rightNode;
            }
            //待刪除節點右節點均爲空的情況
            if (node.right == null) {
                Node leftNode = node.left;
                node.left = null;
                size--;
                return leftNode;
            }

            //待刪除節點左右節點均不爲空的情況
            //找到比待刪除節點大的最小節點，即待刪除節點右子樹的最小節點
            //用這個節點頂替刪除節點的位置
            Node successor = minimum(node.right);
            successor.right = removeMin(node.right);
            successor.left = node.left;
            node.left = node.right = null;
            return successor;
        }
    }

刪除的時間複雜度：O(logN)

三. 遍歷

• 遍歷操作就是把所有節點都訪問一遍。
• 訪問的原因和業務相關。
• 在線性結構中，遍歷是極其容易的。
• 對於遍歷操作，兩棵子樹都要顧及。
• 遍歷方式有多種： 前序遍歷，中序遍歷，後序遍歷，層序遍歷。

所謂前中、後、序遍歷，就是root根節點的遍歷順序。前序遍歷就是先遍歷根節點，在遍歷左子樹和右子樹。 中序遍歷就是先遍歷左子樹在遍歷根節點最後遍歷右子樹。後序遍歷就是先遍歷左子樹，然後右子樹，最後根節點。

1. 前序遍歷

前序遍歷代碼

   /**
     * 前序遍歷以node爲根的二分搜索樹
     * 中 前 後
     *
     * @param node 根節點
     */
    private void preOrder(Node node) {
        if (node == null) {
            return;
        }
        System.out.println(node.e);
        preOrder(node.left);
        preOrder(node.right);
    }

2. 中序遍歷

中序遍歷代碼

    /**
     * 中序遍歷以node爲根的二分搜索樹
     * <p>
     * 前 中 後
     * 二分搜索樹的中序遍歷結果是順序的
     *
     * @param node
     */
    private void inOrder(Node node) {
        if (node == null) {
            return;
        }
        inOrder(node.left);
        System.out.println(node.e);
        inOrder(node.right);
    }

3. 後序遍歷

後序遍歷代碼

  /**
     * 後序遍歷以node爲根的二分搜索樹
     * <p>
     * 前  後 中
     * 應用： 爲 二分搜索樹 釋放內存
     *
     * @param node
     */
    private void postOrder(Node node) {
        if (node == null) {
            return;
        }
        postOrder(node.left);
        postOrder(node.right);
        System.out.println(node.e);
    }

4. 層序遍歷

層序遍歷代碼

    /**
     * 二分搜索樹的層序遍歷 廣度優先遍歷
     */
    public void levelOrder() {
        Queue<Node> queue = new LinkedList<>();
        queue.add(root);
        while (!queue.isEmpty()) {
            Node cur = queue.remove();
            System.out.println(cur.e);
            if (cur.left != null) {
                queue.add(cur.left);
            }
            if (cur.right != null) {
                queue.add(cur.right);
            }
        }
    }

四. Java 二分搜索樹的簡單實現

import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;
import java.util.Stack;

/**
 * E 要有可比較性
 *
 * @author 一直往前走
 * @date 2020/04/07
 */
public class BST<E extends Comparable<E>> {

    private class Node {
        public E e;
        public Node left, right;

        public Node(E e) {
            this.e = e;
            this.left = null;
            this.right = null;
        }
    }

    private Node root;

    private int size;

    public BST() {
        root = null;
        size = 0;
    }

    public int size() {
        return size;
    }

    public boolean isEmpty() {
        return size == 0;
    }

    /**
     * 向二分樹搜索樹中添加新的元素e
     * 不存在重複元素
     *
     * @param e
     */
    public void add(E e) {
        root = add(root, e);

    }

    /**
     * 向以node爲根的二分搜索樹中插入元素E,遞歸算法
     * 此方法存在的問題：
     * O(h)級別 h爲二分搜索樹的深度
     * root 爲空 進行判斷
     *
     * @param node
     * @param e
     */
    private void add1(Node node, E e) {
        //TODO 遞歸終止條件
        if (e.equals(node.e)) {
            return;
        } else if (e.compareTo(node.e) < 0 && node.left == null) {
            node.left = new Node(e);
            size++;
            return;
        } else if (e.compareTo(node.e) > 0 && node.right == null) {
            node.right = new Node(e);
            size++;
            return;
        }
        if (e.compareTo(node.e) < 0) {
            add(node.left, e);
        } else { //e.compareTo(node.e) > 0
            add(node.right, e);
        }
    }

    /**
     * 向以node爲根的二分搜索樹中插入元素E,遞歸算法
     * 插入新的節點 返回二分搜索樹的根
     * 上面方法優化成下面的方法
     *
     * @param node
     * @param e
     * @return
     */
    private Node add(Node node, E e) {

        if (node == null) {
            size++;
            return new Node(e);
        }
        if (e.compareTo(node.e) < 0) {
            node.left = add(node.left, e);
        } else if (e.compareTo(node.e) > 0) {
            node.right = add(node.right, e);
        }
        return node;
    }

    /**
     * 查看二分搜索樹是否包含元素e
     *
     * @param e
     * @return
     */
    public boolean contains(E e) {
        return contains(root, e);
    }

    /**
     * 看以node爲根的二分搜索樹中是否包含元素E
     *
     * @param node
     * @param e
     * @return
     */
    private boolean contains(Node node, E e) {
        if (node == null) {
            return false;
        }
        if (e.compareTo(node.e) == 0) {
            return true;
        } else if (e.compareTo(node.e) < 0) {
            return contains(node.left, e);
        } else {
            return contains(node.right, e);
        }
    }

    /**
     * 二叉樹的前序遍歷
     */
    public void preOrder() {
        preOrder(root);
    }

    /**
     * 前序遍歷以node爲根的二分搜索樹
     * 中 前 後
     *
     * @param node
     */
    private void preOrder(Node node) {
        if (node == null) {
            return;
        }
        System.out.println(node.e);
        preOrder(node.left);
        preOrder(node.right);
    }

    /**
     * 中序遍歷
     */
    public void inOrder() {
        inOrder(root);
    }

    /**
     * 中序遍歷以node爲根的二分搜索樹
     * <p>
     * 前 中 後
     * 二分搜索樹的中序遍歷結果是順序的
     *
     * @param node
     */
    private void inOrder(Node node) {
        if (node == null) {
            return;
        }
        inOrder(node.left);
        System.out.println(node.e);
        inOrder(node.right);
    }

    /**
     * 後序遍歷
     */
    public void postOrder() {
        postOrder(root);
    }

    /**
     * 後序遍歷以node爲根的二分搜索樹
     * <p>
     * 前  後 中
     * 應用： 爲 二分搜索樹 釋放內存
     *
     * @param node
     */
    private void postOrder(Node node) {
        if (node == null) {
            return;
        }

        postOrder(node.left);
        postOrder(node.right);
        System.out.println(node.e);
    }

    /**
     * 二分搜索樹的層序遍歷 廣度優先遍歷
     */
    public void levelOrder() {
        Queue<Node> queue = new LinkedList<>();
        queue.add(root);
        while (!queue.isEmpty()) {
            Node cur = queue.remove();
            System.out.println(cur.e);
            if (cur.left != null) {
                queue.add(cur.left);
            }
            if (cur.right != null) {
                queue.add(cur.right);
            }
        }
    }

    /**
     * 非遞歸實現 二分搜索樹前序遍歷的非遞歸實現
     * 非遞歸實現比較複雜
     * 中 後 遞歸實現自己寫
     */
    public void prePrderNR() {
        Stack<Node> stack = new Stack<>();
        stack.push(root);
        while (!stack.isEmpty()) {
            Node cur = stack.pop();
            System.out.println(cur.e);
            if (cur.right != null) {
                stack.push(cur.right);
            }
            if (cur.left != null) {
                stack.push(cur.left);
            }
        }
    }

    /**
     * 查找二分查找樹的最小元素
     *
     * @return
     */
    public E minimum() {
        if (size == 0) {
            throw new IllegalArgumentException("BST is empty!");
        }
        return minimum(root).e;
    }

    /**
     * 最小值以node爲根的二分搜索樹
     *
     * @param node
     * @return
     */
    private Node minimum(Node node) {
        if (node.left == null) {
            return node;
        }
        return minimum(node.left);
    }

    /**
     * 查找二分查找樹的最大元素
     *
     * @return
     */
    public E maximum() {
        if (size == 0) {
            throw new IllegalArgumentException("BST is empty!");
        }
        return maximum(root).e;
    }

    /**
     * 最大值以node爲根的二分搜索樹
     *
     * @param node
     * @return
     */
    private Node maximum(Node node) {
        if (node.right == null) {
            return node;
        }
        return minimum(node.right);
    }

    /**
     * 從二分搜索樹中 刪除最小值所在節點，返回最小值
     *
     * @return
     */
    public E removeMin() {
        E ret = minimum();
        root = removeMin(root);
        return ret;
    }

    /**
     * 刪除以node爲根的二分搜索樹
     * 返回二分搜索樹的根
     *
     * @param node
     * @return
     */
    private Node removeMin(Node node) {
        //如果左節點爲null,原根的右節點作爲根節點。
        if (node.left == null) {
            Node rightNode = node.right;
            node.right = null;
            size--;
            return rightNode;
        }
        node.left = removeMin(node.left);
        return node;
    }

    public E removeMax() {
        return removeMax(root).e;
    }

    private Node removeMax(Node node) {
        //如果右節點爲空，其子節點作爲根節點
        if (node.right == null) {
            Node leftNode = node.left;
            node.left = null;
            size--;
            return leftNode;
        }
        node.right = removeMax(node.right);
        return node;
    }

    /**
     * 二分搜索樹刪除元素爲e的節點
     *
     * @return
     */
    public void remove(E e) {
        remove(root, e);
    }


    /**
     * 刪除以node爲根節點的 元素e
     *
     * @param node
     * @param e
     * @return
     */
    private Node remove(Node node, E e) {
        if (node == null) {
            return null;
        }
        if (e.compareTo(node.e) < 0) {
            node.left = remove(node.left, e);
            return node;
        } else if (e.compareTo(node.e) > 0) {
            node.right = remove(node.right, e);
            return node;
        } else {  //e.equal(node.e)
            //待刪除節點左節點均爲空的情況
            if (node.left == null) {
                Node rightNode = node.right;
                node.right = null;
                size--;
                return rightNode;
            }
            //待刪除節點右節點均爲空的情況
            if (node.right == null) {
                Node leftNode = node.left;
                node.left = null;
                size--;
                return leftNode;
            }

            //待刪除節點左右節點均不爲空的情況
            //找到比待刪除節點大的最小節點，即待刪除節點右子樹的最小節點
            //用這個節點頂替刪除節點的位置
            Node successor = minimum(node.right);
            successor.right = removeMin(node.right);
            successor.left = node.left;
            node.left = node.right = null;
            return successor;
        }
    }

    @Override
    public String toString() {
        StringBuilder sb = new StringBuilder();
        generteBSTString(root, 0, sb);
        return sb.toString();
    }

    private void generteBSTString(Node node, int depth, StringBuilder sb) {
        if (node == null) {
            sb.append(generateDepthString(depth) + "null\n");
            return;
        }
        sb.append(generateDepthString(depth) + node.e + "\n");
        generteBSTString(node.left, depth + 1, sb);
        generteBSTString(node.right, depth + 1, sb);
    }

    private String generateDepthString(int depth) {
        StringBuilder sb = new StringBuilder();
        for (int i = 0; i < depth; i++) {
            sb.append("--");
        }
        return sb.toString();
    }

    public static void main(String[] args) {
        BST<Integer> bst = new BST<>();
        int[] nums = {5, 3, 6, 8, 4, 2};
        for (int num : nums) {
            bst.add(num);
        }
        bst.preOrder();
        System.out.println("-----------");
        bst.inOrder();
        System.out.println("-----------");
        bst.postOrder();
        System.out.println("-------");
        bst.prePrderNR();
        System.out.println("-------");
        bst.levelOrder();

    }

}

五.更多問題

• 支持重複元素的二分搜索樹。 維護count： 該元素存儲的個數。
• 其他